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Au sommet d'un terril ...
Bonjour à tous, ma fille me demande de l'aide pour un DM mais je suis un peu perdue.
Voici l'intitulé :
Au sommet d'un terril de 25m de haut, on a planté un bâton de 1m de haut. On modélise en coupe ce terril par un morceau de la parabole P: y=-x²+25. Agnès mesure 1,71m. Si elle se place trop près du pied du terril, elle ne verra plus le bâton.
On considère le polynôme f défini pr f(x) = -x²+ 25. On appelle (P) sa courbe représentative.
1- Donner les coordonnées du sommet de (P). (ça, c'est facile, elle a mis (0;25) )
2- Calculer f'(x) pour x appartenant à IR. Là, elle a répondu f(x) = -x² + 25. On sait que (-x²)' = -2x et (25)' = 0
Donc f'(x) = -2x
3- Ecrire l'équation de la tangente (T) au point d'abcisse a à la parabole (P). Sa réponse : On sait que l'équation d'une tangente s'écrit y=f'(a)(x-a)+f(a).
donc l'équation de la tangente (T) au point d'abcisse a à la parabole (P) est y=-2x(x-a)+f(a)
car f'(x) = -2x <=> f'(a) = -2x
4. En écrivant que le point D(0;26) appartient à (T), déterminer les deux valeurs possibles de a puis l'équation de la tangente à (P) qui passe par D et par le point représentant l'oeil d'Agnès sur le schéma.
Là ça se corse. Elle dit qu'on sait que f(a) = 26 et D appartient à (T)
donc y=-2x(x-a)+26.
Qu'on sait que l'axe des abcisses a pour équation y=0
<=> y=0
y=-2x(x-a)+26 <=> 0=-2x² +2xa + 26 <=> 26=2x²-2xa.
A partir de là nous ne sommes plus d'accord car elle écrit x-xa = 26 - 2 + 2
alors que perso je dirais plutôt 26 = 2(x² - xa)
<=> 26/2 = x² - xa
<=> 13 = x² - xa
et après, nous séchons toutes les deux, comment trouver les deux valeurs possibles ?
5- A quelle distance minimale du pied du terril Agnès doit-elle se placer pour apercevoir le sommet du drapeau ?
J'ai cherché, j'ai trouvé des problèmes très similaires, mais comme je n'ai pas revu cela depuis plus de 30 ans, je suis paumée ...
Si quelqu'un pouvait me donner un petit coup de pouce, je lui en serais très reconnaissante !
1. et 2. : exact.
3. Exact, mais il reste à exprimer aussi f(a) en fonction de a .
Le point D est, je le présume, le sommet du bâton. Il appartient à la tangente, mais pas à la parabole. Que signifie aors f(a) = 26 ?
Il faut ici écrire que les coordonnées du point D vérifient l'équation de la tangente, ce qui permettra de déterminer l'abscisse a du point de contact de celle-ci avec la parabole..
Attention pour la 3., quand vous affirmez que : f'(x) = -2x <=> f'(a) = -2x
on a f'(x)=-2a.
D'où votre blocage question 4. Finalement l'équation de votre tangente est : y=-2a(x-a)+f(x)=-2ax+a²+25. (je vous laisse le soin de vérifier les étapes de calculs).
Comme D(0,26) est sur cette tangente, ses coordonnées vérifient l'équation donc :
26=-2a*0+a²+25 <=> a²=1
Donc a = 1 ou -1.
bonsoir à tous les deux et merci pour la rapidité de vos réponses.
Priam, oui, le point D est le sommet du bâton. Pour f(a) je ne sais même pas ce qu'est ce a. Alors dire ce que signifie f(a)=26 ...
Manifestement, ma fille a vu un lien avec l'abscisse de D. Ce n'est donc pas bon ?
Erevan: f'(x) = -2x <=> f'(a) = -2x n'est pas bon ? D'où vient le f'(x) = -2a
Qu'est-ce que cela change de faire l'équation avec f'(a) ou f'(x) ?
Ok pour l'équation. Si je comprends bien, a est le point de contact de (T).
Et maintenant, comment puis-je trouver la solution du 5 ? Ce que je vois, c'est les coordonnées sur l'ordonnée de la tangente passant par D est D(0,26). Les coordonées des yeux d'Agnès sur l'axe des abcisses seraient donc (?;1.71). Je ne vois pas très bien comment cela va m'aider pour trouver la distance ?
Désolée pour mon inculture mathématique 
mais à mon époque, on baignait dans les maths modernes de Papy, alors j'ai de grandes lacunes !
merci
Pour le f'(x)=-2x.
Oui, c'est bien ça l'expression de f'(x), mais si on prends x=a, on a bien f'(a)=-2a. (c'est une fonction, aucun piège.
Du coup quand vous avez utilisé la formule pour l'équation de la tangente, vous avez eu une erreur :
Vous avez écrit :
y=-2x(x-a)+26.
alors que c'est :
y=f'(a)(x-a)+f(a)=-2a(x-a)+26
(comparez, vous comprendrez pourquoi c'est bien -2a et pas -2x)
Un dessin serait le bienvenu pour la question 5.
Ce que l'on veut, c'est l'abscisse du point de rencontre de la tête d'Agnès avec la tangente verte.
On peut mettre cela en équation. La tête d'Agnès a pour ordonnée 1.71 (sa taille) car on considère que l'axe des abscisses représente le sol. Comme sa tête est sur la tangente verte, alors les coordonnées de sa tête vérifient l'équation de la tangente :
On a vu que a = 1 ou -1, donc on a ou
On remplace l'ordonnée de la tête d'Agnès dans ces 2 équations :
ou
soit ou
Enfin, il nous faut l'abscisse des 2 points de contact entre la parabole (le terril) et l'axe des abscisses (le sol). L'équation de la parabole étant y=-x²+25, on résout l'équation , soit
ou
(à chaque fois, on trouve les mêmes résultats au signe près, ce qui est normal puisqu'il y a deux côtés du terril possible, donc ce n'est pas grave)
D'où la distance entre le terril et Agnès :
Finalement : Agnès doit se trouver à au moins 8.145 mètres du pied du terril.
J'espère avoir répondu assez tôt, et ne pas m'être trompé dans les calculs. En tout cas la méthode me semble être bonne. Bonne soirée.
Merci Erevan, ça s'éclaire.
Mais ... si 25 = -2a(x-a)+ 26 la distributivité (j'espère ne pas me tromper de terme) ne donnerait-elle pas
25 = -2ax + 2a² + 26
=> 25= 0 + 2a² + 26
=> 25 - 26 = 2a²
=> -1 = 2a²
=> -1/2 = a² et a= racine carrée de -1/2 ?
A part ça, j'ai bien compris le déroulé pour le dernier point. Il y a juste ce doute sur la valeur de a
Merci infiniment pour votre aide !
Bonjour Erevan, j'aimerai savoir comment vous avez trouver 13.145 ? Quel équation avez fait pour arriver a ce résultat? a part ça, j'ai tout compris...
L'équation est celle de l'une des deux tangentes à la parabole, celle qui passe par le sommet du drapeau et par la tête d'Agnès (droite verte).
Pour déterminer la distance entre Agnès et l'axe du terril, c'est-à-dire la distance entre les pieds d'Agnès et le point O, on détermine l'abscisse du point de la tangente dont l'ordonnée est égale à la taille d'Agnès (1,71 m). On remplace donc dans l'équation y par 1,71 , ce qui donne x = 13,145 m.
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