Autour d'une égalité de Ramanujan (I)

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Autour d'une égalité de Ramanujan (I)
Posté par 
perroquet  26-03-23 à 12:14
Bonjour à tous.

Je vous propose une égalité qui n'est pas difficile à établir (un excellent élève de seconde pourrait le faire). Il est plus intéressant de savoir comment j'ai pu obtenir le résultat (cela fera l'objet d'un autre sujet).

Démontrer que:

Généraliser.
 Posté par 
lakere : Autour d'une égalité de Ramanujan (I)  26-03-23 à 15:17
Bonjour,

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Pour , on peut vérifier que :

 Posté par 
lakere : Autour d'une égalité de Ramanujan (I)  26-03-23 à 15:28
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L'égalité est d'ailleurs vraie pour tout  réel 
 Posté par 
dpire : Autour d'une égalité de Ramanujan (I)  26-03-23 à 16:01
Bonjour,

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Je n'ai pas trouvé la raison mais les deux membres ont pour valeur

239.77
 Posté par 
perroquetre : Autour d'une égalité de Ramanujan (I)  26-03-23 à 16:23
@lake

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Ta généralisation est meilleure que la mienne.

@dpi

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Et si on calculait le carré des deux membres de l'égalité ?
 Posté par 
dpire : Autour d'une égalité de Ramanujan (I)  26-03-23 à 18:45
Suite

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le carré des deux membres est 57567.45373576
 Posté par 
dpire : Autour d'une égalité de Ramanujan (I)  27-03-23 à 08:38
Suite,

Ma seule observation de ce carré est:

soit S les deux membres

on a S²=4552 -
 Posté par 
dpire : Autour d'une égalité de Ramanujan (I)  27-03-23 à 12:23
J'aurais du finir par 
 Posté par 
lakere : Autour d'une égalité de Ramanujan (I)  27-03-23 à 15:39
Bonjour dpi,

Je me permets d'intervenir en l'absence de perroquet :

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Citation :
S²=4552 -

et il ne faut pas hésiter à calculer le carré du second membre à savoir :

avec 

 Un peu pénible mais on aboutit 
 Posté par 
dpire : Autour d'une égalité de Ramanujan (I)  27-03-23 à 17:01
Merci lake,

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En réduisant je trouve bien S²=57567.45373576

comme pour le premier membre.

si on compare les deux membres avec a= ;b=

 et  c=b²/2

on obtient  

4552b-a=a²+b²++2ab-ab²-b³

j'ai de la peine à réduire ,car je vois mal ce que je peux faire de 4552...

  Posté par 
perroquetre : Autour d'une égalité de Ramanujan (I)  30-03-23 à 19:42
Bonjour, dpi

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C'est une bonne idée de poser           et   .

Mais tu t'es trompé dans l'égalité à établir. Il s'agit de montrer que:

Et on va utiliser l'égalité signalée par , que je réécris

avec      ,      ,    

en n'oubliant pas que       ....