Voilà le texte du problème 1988, Académies Paris-Créteil-Versailles.
Ma question : dans B.2.d, je trouve alors que le calcul numérique me donne pour .
Merci les matheux !
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Problème (11 points sur 20)
A. L'objet de cette partie est d'étudier la fonction f définie sur par , si
et
1. Encadrement de .
a) Prouver que, pour tout nombre réel ,
b) En intégrant ces inégalités, établir que pour tout réel
2. Etude d'une fonction auxiliaire.
Soit la fonction définie sur par : .
a) Montrer que est dérivable et calculer .
b) Prouver que, pour tout nombre réel , .
(pour majorer , on minorera )
c) En déduire que, pour tout réel , (2)
3. Variations de la fonction .
a) Montrer que f est dérivable sur et calculer .
b) Etablir que, pour tout nombre réel , .
Grâce à (2), en déduire le sens de variation de .
4. Etude de aux bornes de l'intervalle de définition.
a) Déterminer la limite de lorsque tend vers .
b) Prouver que (3)
A cet effet, on notera que (2) fournit un encadrement de et on en déduira un encadrement de .
c) En déduire que est dérivable en et calculer . Donner une équation de la tangente à au point d'abscisse et, grâce à (1), préciser la position de par rapport à .
5. Dresser le tableau de variation de et tracer la courbe et la droite .
B. L'objet de cette partie est d'étudier la suite de nombres réels définie par les relations si et ,
où est un réel strictement positif donné.
1. Convergence de la suite
a) Prouver que, pour tout entier , et que la suite est décroissante.
b) Montrer que cette suite converge. Etablir que sa limite est nulle (on pourra utiliser les variations de ).
c) On prend . A l'aide de la calculatrice, obtenir des valeurs approchées de et . Que peut-on conjecturer pour la limite de lorsque ?
2. Encadrement de .
A partir de cette question, on prend . Pour tout entier , on pose .
a) Exprimer en fonction de . En déduire, à l'aide de (3), la limite de .
b) Prouver que, pour tout réel , .
A cet effet, on pourra utiliser (2) en établissant d'abord que
.
c) En déduire que, pour tout entier ,
(4)
puis que (5)
d) En effectuant la somme des inégalités (5), encadrer . En déduire que pour tout entier ,
(6)
Déterminer enfin la limite de , lorsque . A cet effet, on établira la majoration
et on encadrera grâce à (4) .