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Intégrales

Posté par
Keren 04-02-16 à 17:33

Bonjour tout le monde ,

Pourriez vous m'aider pour répondre à cette question , s'il vous plait ?

K_n = \int_{0}^{\Pi /2} t^{2}cos(t)^{2n}dt
K_0 = \int_{0}^{\Pi /2} t^{2}dt

Montrer que:

K_{n+1} - K_n = \frac{-1}{2n+1}K_{n+1} - \frac{2}{2n+1}\int_{0}^{\Pi /2}tsin(t)cos(t)^{2n+1}dt


Merci
Bonne fin de journée

Posté par
lakere : Intégrales 04-02-16 à 17:45

Bonjour,

K_{n+1}-K_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}-t^2\,\cos^{2n}t\,\sin^2t\,\text{d}t

Fait une intégration âr parties en posant:

u=-t^2\,\sin\,t et v'=\cos^{2n}t\,\sin\,t

Posté par
Glapion Moderateurre : Intégrales 04-02-16 à 17:48

Bonjour, tu as essayé quelque chose ?
forme toujours K_{n+1} - K_n puis factorise cos2n t
mets le 1-cos²t en sin²t puis il faudra faire une intégration par parties.

Posté par
Glapion Moderateurre : Intégrales 04-02-16 à 17:49

ha lake, il a été plus rapide que moi
effectivement, c'est à ça que je pensais.

Posté par
lakere : Intégrales 04-02-16 à 17:50

Bonjour Glapion

Posté par
Kerenre : Intégrales 04-02-16 à 18:12

Merci énormément!

Pour la suite ,  il y a aussi une question que je n'arrive pas à faire:

Avant la question que j'ai posté sur mon premier post , il y avait ça :

1/ J_n = \int_{0}^{\Pi /2}cos^{2n}dt
J_0 = \Pi /2
Montrer que (2n+2) J_{n+1}= (2n+1) J_n


Ensuite :
K_n = \int_{0}^{\Pi /2} t^{2}cos(t)^{2n}dt
K_0 = \int_{0}^{\Pi /2} t^{2}dt
S_n = \sum_{p=1}^{n}\frac{1}{p^2}


1/ Montrer que:

K_{n+1} - K_n = \frac{-1}{2n+1}K_{n+1} - \frac{2}{2n+1}\int_{0}^{\Pi /2}tsin(t)cos(t)^{2n+1}dt

2/ Conclure  que :

\frac{2n+2}{2n+1}K_{n+1} - K_n =  - \frac{2}{()2n+1)(2n+2)}J_{n+1}


Et que : \frac{K_{n+1}}{J_{n+1}} - \frac{K_{n}}{J_{n}} = \frac{-2}{(2n+2)^2}    

3/ Montrer que \frac{1}{2}S_n = \frac{K_{0}}{J_{0}} - \frac{K_{n}}{J_{n}} \\

4/ Montrer que pour tout t compris entre 0 et \Pi /2 , t \leq  \Pi /2 sin(t)

5/ Conclure que 0 \leq K_n \leq \frac{\Pi ^2}{4} (J_{n+1}-J_{n})



Je n'arrive pas à faire la cinquième question , si vous pourriez m'aider s'il vous plait..

Posté par
Kerenre : Intégrales 04-02-16 à 20:18

Up

Posté par
lakere : Intégrales 05-02-16 à 01:08

5) On a donc t^2\leq \dfrac{\pi^2}{4}\,\sin^2t sur [0;\frac{\pi}{2}]

Du coup, 0\leq K_n\leq \dfrac{\pi^2}{4} \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2n}t\sin^2t\,\text{d}t

Puis tu remplaces \sin^2t par 1-\cos^2t

qui donnerait plutôt 0\leq K_n\leq \dfrac{\pi^2}{4}(J_n-J_{n+1})

Une erreur de signe?

Posté par
lakere : Intégrales 05-02-16 à 01:18

Tout ceci donne bien au bout du compte:

  \lim\limits_{n\to+\infty}S_n=\dfrac{\pi^2}{6}

Posté par
Kerenre : Intégrales 05-02-16 à 03:10

Merci beaucoup ,  effectivement , je me suis trompé de signe.
Désolé de vous déranger encore une fois , mais je bloque là aussi :

Pour la suite de l'exercice:

S'_n = \sum_{p=1}^{n} \frac{(-1)^{p+1} }{p^2}

* On me demande d' Ecrire S'_{2n+1} en fonction de S_n et de S_{2n+1}
Puis de conclure que  :   \lim n \to \infty S'_{2n+1} = \frac{\Pi^2}{12} \\


Je trouve que : S'_{2n+1} = S_{2n+1} -  2 S_n

Comme vous l'aviez mentionné , \lim n \to \infty S_{n} = \frac{\Pi^2}{6}
Et \lim n \to \infty S_{n}=\lim n \to \infty S_{2n+1} (?)

Par ailleurs , \lim n \to \infty S'_{2n+1} = -\frac{\Pi^2}{6} ?

Posté par
lakere : Intégrales 05-02-16 à 09:22

Une erreur:

S'_{2n+1}=S_{2n+1}-\dfrac{1}{2}\,S_n

Qui donne bien: \lim\limits_{n\to +\infty}S'_{2n+1}=\dfrac{\pi^2}{12}

et \lim\limits_{n\to +\infty}S'_{n}=\dfrac{\pi^2}{12}

Posté par
Kerenre : Intégrales 05-02-16 à 14:25

Pourriez vous me dire pourquoi : S'_{2n+1}=S_{2n+1}-\dfrac{1}{2}\,S_n , s'il vous plait?

Posté par
lakere : Intégrales 05-02-16 à 14:45

S_{2n+1}=1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+\cdots +\dfrac{1}{(2n)^2}+\dfrac{1}{(2n+1)^2}

\dfrac{1}{2}\,S_n=\dfrac{2}{2^2}\,\left(1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2}\right)

\dfrac{1}{2}\,S_n=2\lef(\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{4^2}+\cdots +\dfrac{1}{(2n)^2}\right)

S_{2n+1}-\dfrac{1}{2}\,S_n=S'_{2n+1}

Posté par
Kerenre : Intégrales 06-02-16 à 11:54

Merci énormément!

Posté par
lakere : Intégrales 06-02-16 à 12:05

De rien Keren

On aimerait voir ce genre d' exercice dans les Terminales Françaises...

Posté par
AtomeKidre : Intégrales 21-11-16 à 18:54

Oui, à condition d'en finir avec le grand sabotage qui a démarré en force et déjà sur toute la ligne à la rentrée 1981 ! Ce sabotage a été accompagné de celui de la lecture en grande maternelle, en CP, de la dictée et du français qui ont vu leurs horaires se réduire dans les écoles primaires (conséquence : le niveau de français, notamment de l'orthographe, de l'immense majorité des gens aujourd'hui).
La Terminale C n'a été supprimée qu'en 1995 (ou en 94-95 ?), mais la Seconde "indifférenciée" puis la 1ère "S" dont on nous disait qu'elle serait une synthèse entre la 1ère C et la 1ère D (en fait, elle fut vite à des années-lumière sous le niveau d'une 1ère D ; de même que la 1ES est à des parsecs sous le niveau des 1B !). En 1990, des collègues profs en Math Sup se plaignaient déjà amèrement que les élèves (pourtant sélectionnés) qui leur étaient envoyés, bacheliers C encore, étaient trop faibles pour faire une Prépa.
Aujourd'hui, j'ai entendu des collègues de chaire supérieure dire qu'ils ont en CPGE des élèves ayant de la difficulté à manipuler les exposants des puissances, ou confondant les vecteurs géométrique et leurs normes !
Seule chose à faire : un bon coup de balai, et le rétablissement de l'Ecole de la République, fondée sur le mérite et le travail, et donnant une vraie perspective aux élèves depuis le Primaire jusqu'au seuil de l'Université et des CPGE. Et ne pas céder aux pressions de la rue, toujours manipulée par les pires idéologues de la décadence.


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