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Barycentre 14

Posté par
Samsco
22-09-20 à 23:18

Bonsoir , j'ai besoin d'aide svp.

Exercice:

Soit G le barycentre de (A ; α) et (B ; β) (α + β ≠0).
• Montrer que si α et β sont tous deux positifs alors G se trouve sur le segment [AB].
• Où se trouve le point G si α et β sont tous deux négatifs ?
• Où se trouve le point G si α et β sont de signes contraires
E.

G=bar{(A , \alpha) , (B , \beta)}

\iff \vec{AG}=\dfrac{\beta}{\alpha+\beta}\vec{AB}

Comment montrer que G appartient à [AB] ?

Posté par
LeHibou
re : Barycentre 14 22-09-20 à 23:35

Bonsoir,

Sachant que et sont tous les deux > 0, montre que :

0 < \frac{\alpha }{\alpha +\beta } < 1
Et explique pourquoi cet encadrement répond à la question.

Posté par
Samsco
re : Barycentre 14 22-09-20 à 23:42

LeHibou @ 22-09-2020 à 23:35

Bonsoir,

Sachant que et sont tous les deux > 0, montre que :

0 < \frac{\alpha }{\alpha +\beta } < 1
Et explique pourquoi cet encadrement répond à la question.


\alpha>0~et~\beta>0
 \\ 
 \\ \alpha+\beta>\beta
 \\ 
 \\ \iff 0<\dfrac{1}{\alpha+\beta}<\dfrac{1}{\beta}
 \\ 
 \\ \iff 0<\dfrac{\beta}{\alpha+\beta}<1
 \\

Quand \dfrac{\alpha}{\alpha+\beta} appartient à ]0 , 1[, G appartient au segment [AB] prive de A et B.

Posté par
Samsco
re : Barycentre 14 22-09-20 à 23:46

Samsco @ 22-09-2020 à 23:42

Quand \dfrac{{\blue{\beta}}}{\alpha+\beta} appartient à ]0 , 1[, G appartient au segment [AB] prive de A et B .

Posté par
LeHibou
re : Barycentre 14 22-09-20 à 23:47

Oui c'est exact.

Posté par
Samsco
re : Barycentre 14 22-09-20 à 23:55

Si \alpha<0~et~\beta<0
 \\ 
 \\ \alpha+\beta<\beta
 \\ 
 \\ \iff 0>\dfrac{1}{\alpha+\beta}>\dfrac{1}{\beta}
 \\ 
 \\ \iff 0 < \dfrac{\beta}{\alpha+\beta} <1~car~\beta<0

Quand \alpha et \beta sont négatifs , G appartient à [AB] privé des points A et B.

Posté par
Samsco
re : Barycentre 14 23-09-20 à 00:02

Pour le dernier cas , comment je fais?

Posté par
LeHibou
re : Barycentre 14 23-09-20 à 00:03

C'est exact.

Tu aurais aussi pu remarquer que :

\frac{\alpha }{\alpha +\beta } = \frac{(-\alpha ) }{(-\alpha )+(-\beta ) }

avec - > 0 et - > 0
Ce qui te ramenait à la situation précédente.

Posté par
Samsco
re : Barycentre 14 23-09-20 à 00:04

LeHibou @ 23-09-2020 à 00:03

C'est exact.

Tu aurais aussi pu remarquer que :

\frac{\alpha }{\alpha +\beta } = \frac{(-\alpha ) }{(-\alpha )+(-\beta ) }

avec - > 0 et - > 0
Ce qui te ramenait à la situation précédente.


Ah je vois .

Posté par
LeHibou
re : Barycentre 14 23-09-20 à 00:09

Le dernier cas est plus subtil. Il faut étudier plusieurs cas :
> 0, < 0, + > 0
> 0, < 0, + < 0
< 0, > 0, + > 0
< 0, > 0, + < 0

Posté par
Samsco
re : Barycentre 14 23-09-20 à 00:38

LeHibou @ 23-09-2020 à 00:09

Le dernier cas est plus subtil. Il faut étudier plusieurs cas :
> 0, < 0, + > 0 <=> /(+)<0 , G est extérieur à [AB] ( plus proche de A que de B)

> 0, < 0, + < 0 <=> /(+)>0 et +> donc G appartient à [AB] privé de A et B.

< 0, > 0, + > 0 <=> +< et /(+)>0 donc G est extérieur à [AB] plus proche de B que de A

< 0, > 0, + < 0 <=> +< et /(+)<0 et G est extérieur à [AB] plus proche de A et de B.

Posté par
LeHibou
re : Barycentre 14 23-09-20 à 07:05

Je ne suis pas convaincu par ton 2ème cas.
En fait, on peut faire plus simple en n'étudiant que 2 cas.
Je vais remplacer et par a et b, et me dispenser du Latex pour aller plus vite
b étant toujours 0, on peut diviser b/(a+b) en haut et en bas par b et on a :
b/(a+b) = 1/(1+(a/b))
a et b étant de signe opposés, on a toujours a/b < 0.
on a a+b 0 donc a/b -1
Je distingue deux cas.
Premier cas :
a/b < -1
Dans ce cas :
1+(a/b) < 0
1/(1+(a/b)) < 0
G est à l'extérieur de [A;B] du côté de A
Deuxième cas :
-1 < a/b < 0
0 < 1+ (a/b) < 1
1/(1+(a/b)) > 1
G est à l'extérieur de [A;B] du côté de B
Sauf erreur de ma part, je fais confiance aux relecteurs pour me corriger

Posté par
Samsco
re : Barycentre 14 23-09-20 à 16:27

LeHibou @ 23-09-2020 à 07:05


b étant toujours 0


Pourquoi b≠0 ?

Posté par
LeHibou
re : Barycentre 14 23-09-20 à 18:13

Effectivement, on n'a pas obligatoirement b 0, ni a d'ailleurs. Tu peux traiter séparément les cas a = 0 et b = 0, sachant que tu ne peux pas avoir les deux ensemble car a+b 0.

Posté par
Samsco
re : Barycentre 14 23-09-20 à 20:18

Si b=0 et a≠0  , G=A

Si a=0 et b≠0 , G=B

Merci

Posté par
LeHibou
re : Barycentre 14 24-09-20 à 22:32

Exact !
Je t'en prie



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