Bonjour

J'ai un problème sur cet exercice:
ABC un triangle. A', B' et C' sont les milieux respectifs des cotés [BC], [AC] et [AB]. M un point donné. On ote A1, B1, C1 les symétriques du point M par rapport à A', B' et C'.
On désignere par M' barycentre des points (A,1) (B,1) (C,1) et (M,1)

a) Montrer que les droites (AA1);(BB1) et (CC1) sont concourrantes en M
b) Soit g le centre de gravité de ABC. Montrer que M', M et G sont alignés et p^réciser la position de M' sur la droite (MG)

Serait il possible d'avoir de l'aide svp ???
merci beaucoup d'avance
criky

*** message déplacé ***

bonjour ,
j'ai un petit problème, car pour moi les droites (AA1),(BB1) et (CC1) sont concourrantes, mais pas en M.
voilà comment j'ai procédé:
M' barycentre des points (A,1) (B,1) (C,1) et (M,1)
donc
(*)

de plus, A' est milieu de [BC], donc
A' est barycentre de {(B,1);(C,1)}
et pour tout point P:

en particulier pour P=M'
ce qui donne dans (*):
(*)

d'autre part, A1 est le symétrique du point M par rapport à A'.
donc
A' est le milieu de [], c'est à dire:
A' est barycentre de {(M,1);(,1)}
et pour tout point P:

en particulier pour P=M'

ce qui donne dans (*):
(*)

soit A" le barycentre de {(A,1);(,1)}
d'où pour tout point P:

en particulier pour P=M'
ce qui donne
(*)
donc


en procédant de la même manière pour les points B et C, on introduit les points
B", le barycentre de {(B,1);(,1)}
C", le barycentre de {(C,1);(,1)}

et on a:




ceci montre que A"=B"=C" et que A" est le symétrique de M par rapport à M'.
donc que les droites (AA1);(BB1) et (CC1) sont concourrantes en A", qui est le symétrique de M par rapport à M'


b)
un peu plus facile à montrer.
M' barycentre des points (A,1) (B,1) (C,1) et (M,1)
donc
(**)

d'autre part,
G le centre de gravité de ABC
donc G, barycentre de (A,1) (B,1) (C,1)
et pour tout point P, on a:


en particulier pour P=M'


ce qui donne dans (**)
(**)

donc M' est barycentre de {(G,3); (M,1)}
ce qui prouce l'alignement.

pour la position de M',
introduit par Chaslès le point G dans (**)



à toi de jouer, si tu n'as pas compris quelque chose n'hésite pas

je ne sais pas vous, mais je ne vois pas certaines choses, donc je vais les réécrire

soit A" le barycentre de {(A,1);(,1)}
d'où pour tout point P:


en particulier pour P=M'

ce qui donne dans (*):
(*)
donc


en procédant de la même manière pour les points B et C, on introduit les points
B", le barycentre de {(B,1);(,1)}
C", le barycentre de {(C,1);(,1)}

et on a:




ceci montre que A"=B"=C" et que A" est le symétrique de M par rapport à M'.
donc que les droites (AA1);(BB1) et (CC1) sont concourrantes en A", qui est le symétrique de M par rapport à M'

voilà, c'est fait