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Barycentre

Posté par criky (invité) 26-10-04 à 18:57

Bonjour

J'ai un problème sur cet exercice:
ABC un triangle. A', B' et C' sont les milieux respectifs des cotés [BC], [AC] et [AB]. M un point donné. On ote A1, B1, C1 les symétriques du point M par rapport à A', B' et C'.
On désignere par M' barycentre des points (A,1) (B,1) (C,1) et (M,1)

a) Montrer que les droites (AA1);(BB1) et (CC1) sont concourrantes en M
b) Soit g le centre de gravité de ABC. Montrer que M', M et G sont alignés et p^réciser la position de M' sur la droite (MG)

Serait il possible d'avoir de l'aide svp ???
merci beaucoup d'avance
criky

Posté par criky (invité)Au secours j ai un problème avec les barycentres 27-10-04 à 14:21

Bonjour

J'ai un problème sur cet exercice:
ABC un triangle. A', B' et C' sont les milieux respectifs des cotés [BC], [AC] et [AB]. M un point donné. On ote A1, B1, C1 les symétriques du point M par rapport à A', B' et C'.
On désignere par M' barycentre des points (A,1) (B,1) (C,1) et (M,1)

a) Montrer que les droites (AA1);(BB1) et (CC1) sont concourrantes en M
b) Soit g le centre de gravité de ABC. Montrer que M', M et G sont alignés et p^réciser la position de M' sur la droite (MG)

Serait il possible d'avoir de l'aide svp ???
merci beaucoup d'avance
criky

*** message déplacé ***

Posté par
muriel Correcteur
re : Barycentre 27-10-04 à 15:50

bonjour ,
j'ai un petit problème, car pour moi les droites (AA1),(BB1) et (CC1) sont concourrantes, mais pas en M.
voilà comment j'ai procédé:
M' barycentre des points (A,1) (B,1) (C,1) et (M,1)
donc
\vec{M'A}+\vec{M'B}+\vec{M'C}+\vec{M'M}=\vec{0} (*)

de plus, A' est milieu de [BC], donc
A' est barycentre de {(B,1);(C,1)}
et pour tout point P:
\vec{PB}+\vec{PC}=2\vec{PA'}
en particulier pour P=M'
ce qui donne dans (*):
\vec{M'A}+2\vec{M'A'}+\vec{M'M}=\vec{0} (*)

d'autre part, A1 est le symétrique du point M par rapport à A'.
donc
A' est le milieu de [MA_1], c'est à dire:
A' est barycentre de {(M,1);(A_1,1)}
et pour tout point P:
\vec{PM}+\vec{PA_1}=2\vec{PA'}
en particulier pour P=M'
\vec{M'M}+\vec{M'A_1}=2\vec{M'A'}
ce qui donne dans (*):
\vec{M'A}+\vec{M'A_1}+2\vec{M'M}=\vec{0} (*)

soit A" le barycentre de {(A,1);(A_1,1)}
d'où pour tout point P:
\vec{PA}+\vec{PA_1}=2\vec{PA
en particulier pour P=M'
ce qui donne
2\vec{M'A (*)
donc \vec{M'A


en procédant de la même manière pour les points B et C, on introduit les points
B", le barycentre de {(B,1);(B_1,1)}
C", le barycentre de {(C,1);(C_1,1)}

et on a:
\vec{M'A
\vec{M'B
\vec{M'C

ceci montre que A"=B"=C" et que A" est le symétrique de M par rapport à M'.
donc que les droites (AA1);(BB1) et (CC1) sont concourrantes en A", qui est le symétrique de M par rapport à M'


b)
un peu plus facile à montrer.
M' barycentre des points (A,1) (B,1) (C,1) et (M,1)
donc
\vec{M'A}+\vec{M'B}+\vec{M'C}+\vec{M'M}=\vec{0} (**)

d'autre part,
G le centre de gravité de ABC
donc G, barycentre de (A,1) (B,1) (C,1)
et pour tout point P, on a:
\vec{PA}+\vec{PB}+\vec{PC}=3\vec{PG}

en particulier pour P=M'
\vec{M'A}+\vec{M'B}+\vec{M'C}=3\vec{M'G}

ce qui donne dans (**)
3\vec{M'G}+\vec{M'M}=\vec{0} (**)

donc M' est barycentre de {(G,3); (M,1)}
ce qui prouce l'alignement.

pour la position de M',
introduit par Chaslès le point G dans (**)
3\vec{M'G}+\vec{M'G}+\vec{GM}=\vec{0}
4\vec{GM'}=\vec{GM}

à toi de jouer, si tu n'as pas compris quelque chose n'hésite pas

Posté par
muriel Correcteur
re : Barycentre 27-10-04 à 16:34

je ne sais pas vous, mais je ne vois pas certaines choses, donc je vais les réécrire

soit A" le barycentre de {(A,1);(A_1,1)}
d'où pour tout point P:
\vec{PA}+\vec{PA_1}=2\vec{PA''}

en particulier pour P=M'
\vec{M'A}+\vec{M'A_1}=2\vec{M'A''}
ce qui donne dans (*):
2\vec{M'A''}+2\vec{M'M}=\vec{0} (*)
donc
\vec{M'A''}=\vec{MM'}

en procédant de la même manière pour les points B et C, on introduit les points
B", le barycentre de {(B,1);(B_1,1)}
C", le barycentre de {(C,1);(C_1,1)}

et on a:
\vec{M'A''}=\vec{MM'}
\vec{M'B''}=\vec{MM'}
\vec{M'C''}=\vec{MM'}

ceci montre que A"=B"=C" et que A" est le symétrique de M par rapport à M'.
donc que les droites (AA1);(BB1) et (CC1) sont concourrantes en A", qui est le symétrique de M par rapport à M'

voilà, c'est fait



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