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Barycentre 2

Posté par
Samsco
30-08-20 à 17:49

Bonjour j'ai besoin de votre aide svp

Soit ABCD un parallélogramme . On désigne par C' le milieu de [AB] et par G le point d'intersection de (BD) et (CC').

1. Démonter que G est le centre de gravité de ABC .

2. Écrire C comme barycentre des points A , B et D.

3. Démonter que :

3\vec{AG}-2\vec{AB}-\vec{AD}=\vec{0}

Réponses :

1. J'ai fais une figure mais je ne vois pas comment démontrer que G est centre de gravité de ABC , par contre je sais que si G est centre de gravité de ABC , alors :

\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}

Barycentre 2

Posté par
matheux14
re : Barycentre 2 30-08-20 à 17:55

Salut , tu dois passer par les médianes de ce triangle

Que vois tu ?

Posté par
Samsco
re : Barycentre 2 30-08-20 à 18:01

_ C' est milieu de [AB] donc (CC') est une médiane du triangle ABC.
_ Les diagonales du parallélogramme ABCD se coupent en leur milieu, or (BD) passe par le milieu de AC donc (BD) est une médiane du triangle ABC.

Posté par
matheux14
re : Barycentre 2 30-08-20 à 18:02

Oui !

Conclusion ?

Posté par
Samsco
re : Barycentre 2 30-08-20 à 18:03

Les droites (CC') et (BD) se coupent en G.

Habituellement , il faut que les trois médianes du triangle ABC se coupent en G pour que G soit le centre de gravité de ABC.

Posté par
matheux14
re : Barycentre 2 30-08-20 à 18:09

Pas vraiment.

Si deux médianes d'un triangle se coupent en un point , alors la troisième passe par ce même point.

Posté par
Samsco
re : Barycentre 2 30-08-20 à 18:13

Conclusion :

G est le centre de gravité du triangle ABC.

2- Comment je peux écrire C comme barycentre de A , B et D.

Posté par
matheux14
re : Barycentre 2 30-08-20 à 18:19

G est le centre de gravité du triangle ABC.

Qu'est ce que celà te dit déjà ?

Posté par
Samsco
re : Barycentre 2 30-08-20 à 18:22

\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}
 \\ 
 \\ \iff \vec{CA}+\vec{CB}-3\vec{CG}=\vec{0}

Posté par
matheux14
re : Barycentre 2 30-08-20 à 18:32

Oui , G appartient à [BD] donc ?

Posté par
matheux14
re : Barycentre 2 30-08-20 à 18:34

Samsco @ 30-08-2020 à 18:22

\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}
 \\ 
 \\ \iff \vec{CA}+\vec{CB}-3\vec{CG}=\vec{0}


Mais tu dois écrire G comme barycentre des points A , B et C..

Posté par
Samsco
re : Barycentre 2 30-08-20 à 18:41

matheux14 @ 30-08-2020 à 18:34


Mais tu dois écrire G comme barycentre des points A , B et C..


C'est bien ce que j'ai fais en écrivant

\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0} non?

Posté par
matheux14
re : Barycentre 2 30-08-20 à 18:46

Oui mais G= ??

Tiens mon schéma c'est plus clair ..

Barycentre 2

Posté par
Samsco
re : Barycentre 2 30-08-20 à 18:49

G=bar{(A , 1) , (B , 1) , (C , 1)}

Posté par
matheux14
re : Barycentre 2 30-08-20 à 19:01

Pose B' le milieu de [AC]

Que peux tu dire ?

Posté par
Samsco
re : Barycentre 2 30-08-20 à 19:55

Ça me dit rien .

Posté par
matheux14
re : Barycentre 2 30-08-20 à 20:47

Ok ,

Je vais te faire un exemple en écrivant D comme barycentre des points A , B et C.

ABCD est un parallélogramme donc \vec{AD}=\vec{BC} \iff \vec{AD}=\vec{BD}+\vec{DC} \iff \vec{AD}-\vec{BD}-\vec{DC}=\vec{0} \iff \vec{AD}-\vec{BD}+\vec{CD}=\vec{0}

Il vient D=bar{(A,1) ;(B,-1) ;(C,1)}

Posté par
Samsco
re : Barycentre 2 31-08-20 à 08:43

Vue que tu as déjà écrit D comme barycentre des points A , B et C ; il est facile d'écrire C comme barycentre des points A , B et D.

\vec{AD}=\vec{BC}
 \\ \iff \vec{AC}+\vec{CD}=\vec{BC}
 \\ \iff -\vec{CA}+\vec{CB}+\vec{CD}=\vec{0}

C=bar{(A , -1) , (B , 1) , (D, 1)}

D'après ce que j'ai compris , ici pour écrire C comme barycentre des points A, B et D , il fallait juste trouver une relation vectorielle qui lie les points A , B , C et D.

Posté par
matheux14
re : Barycentre 2 31-08-20 à 09:05

Oui , dans le parallélogramme !

Posté par
Samsco
re : Barycentre 2 31-08-20 à 09:45

3-

G=bar{(A , 1) , (B , 1) , (C , 1)}

\vec{AG}=\dfrac{1}{3}\vec{AB}+\dfrac{1}{3}\vec{AC}
 \\ 
 \\ 
 \\ 3\vec{AG}-2\vec{AB}-\vec{AD}=3(\dfrac{1}{3}\vec{AB}+\dfrac{1}{3}\vec{AC})-2\vec{AB}-\vec{BC}
 \\ =\vec{AB}+\vec{AC}-2\vec{AB}-\vec{BC}
 \\ =-\vec{AB}-\vec{BC}+\vec{AC}
 \\ =-(\vec{AB}+\vec{BC})+\vec{AC}
 \\ =-\vec{AC}+\vec{AC}
 \\ 3\vec{AG}-2\vec{AB}-\vec{AD}=\vec{0}

Posté par
matheux14
re : Barycentre 2 31-08-20 à 10:10

Samsco @ 31-08-2020 à 09:45

3-

G=bar{(A , 1) , (B , 1) , (C , 1)}

\vec{AG}=\dfrac{1}{3}\vec{AB}+\dfrac{1}{3}\vec{AC}
 \\ 
 \\ 
 \\ 3\vec{AG}-2\vec{AB}-\vec{AD}=3(\dfrac{1}{3}\vec{AB}+\dfrac{1}{3}\vec{AC})-2\vec{AB}-\vec{BC}
 \\ =\vec{AB}+\vec{AC}-2\vec{AB}-\vec{BC}
 \\ =-\vec{AB}-\vec{BC}+\vec{AC}
 \\ =-(\vec{AB}+\vec{BC})+\vec{AC}
 \\ =-\vec{AC}+\vec{AC}
 \\ {\red{=\bec{0}}
 \\ 
 \\ \text{Donc} ~ 3\vec{AG}-2\vec{AB}-\vec{AD}=\vec{0}


C'est bon !

Posté par
matheux14
re : Barycentre 2 31-08-20 à 10:11

Pardon j'ai oublié la flèche ..

Posté par
malou Webmaster
re : Barycentre 2 31-08-20 à 10:34

Bonjour à tous les deux
la question 3 pouvait se traiter à l'aide des questions 1 et 2, en utilisant l'associativité du barycentre

on a G barycentre de {(A,1) , (B,1), (C,1)}
mais C est barycentre de {(A,1) (B,-1) (D,-1)} ou de {(A,-1) (B,+1) (D,+1)} si on désire que la somme des coefficients soit égale à 1

d'où G barycentre de {(A,1) , (B,1), (A,-1) (B,+1) (D,+1)}
et on obtient immédiatement la relation attendue en 3

Posté par
Samsco
re : Barycentre 2 01-09-20 à 15:41

D'accord merci !



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