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Barycentre 3

Posté par
Samsco
01-09-20 à 16:32

Bonjour j'ai besoin de votre aide svp. à la question 2)

Exercice :

On considère un triangle ABC. Soit I le milieu de [BC] et G le pooint de [AI] tel que :

\vec{AG}=\dfrac{3}{4}\vec{AI}.

1- Ecrire G comme barycentre des points A , B et C et déterminer les coordonnées de G dans le repère ( B , C , A).

2- On désigne par K le point d'intersection des droites (AB) et (GC). Ecrire K comme barycentre des points C et G.

Reponses:

1-
I est milieu de [BC] donc I est isobarycentre des points B et C

I=bar{(B , 3/2),(C , 3/2)}

\vec{AG}=\dfrac{3}{4}\vec{AI}
 \\ 
 \\ \iff \vec{AG}=\dfrac{3}{1+3}\vec{AI}
 \\ 
 \\ \iff G=bar{(A,1),(I,3)}
 \\ 
 \\ \iff G=bar{(A,1),(B,3/2),(C,3/2)}
 \\ 
 \\ \iff \vec{GA}+\dfrac{3}{2}\vec{GB}+\dfrac{3}{2}\vec{GC}=\vec{0}
 \\ 
 \\ \iff 2\vec{GA}+3\vec{GB}+3\vec{GC}=\vec{0}
 \\ 
 \\ \iff \vec{BG}=\dfrac{3}{8}\vec{BC}+\dfrac{1}{4}\vec{BA}
 \\ 
 \\ G(3/8~;~1/4)

Posté par
Priam
re : Barycentre 3 01-09-20 à 17:46

Bonjour,
2. Tu pourrais écrire que K est barycentre de G et C avec des coefficients  g  et  c , puis remplacer G par sa définition selon la question 1., et enfin déterminer  c  pour que K soit barycentre de A et B.

Posté par
Samsco
re : Barycentre 3 01-09-20 à 19:03

Les points C , G et K sont alignés.

Donc :

K=bar(G,g),(C,c)
 \\ 
 \\ K=bar(A, 1),(B,3/2),C(3/2),(C,c)
 \\ 
 \\ g=1+3/2+3/2=4
 \\ c=3/2

Posté par
Priam
re : Barycentre 3 01-09-20 à 19:25

Oui, sauf que  c  doit être égal à  - 3/2  pour que le point C disparaisse .

Posté par
Samsco
re : Barycentre 3 01-09-20 à 19:37

Pourquoi doit-on écrire K comme barycentre des points A et B?

Posté par
flight
re : Barycentre 3 01-09-20 à 19:51

salut

puisque les réponses sont trouvées , il y a une technique plus rapide

en ecrivant que  I est milieu de BC   ---->  2I = B+ C (1)
en ecrivant que  4AG-3AI=0   ------> A = 4G-3I   (2)
en multipliant membre à membre (1) par  3 il vient 6I= 3B+3C
en multipliant membre à membre (2) par  2 il vient 2A= 8G - 6I -->6I=8G-2A
soit donc  3B+3C = 8G-2A  et  alors  8G = 2A+ 3B+3C   donc G,8 est barycentre de A,2
B,3 et C,3.

2)dans le repere (B,BC,BA)   on peut reprendre la relation précedente :
8G = 2A+ 3B+3C   et passer par B   soit  8BG = 2BA + 3BC = 3BC+2BA
et finalement BG = (3/8).BC + (1/4).BA   donc  G a pour coordonnées G(3/8 , 1/4)
ce que tu a trouvé

Posté par
Samsco
re : Barycentre 3 01-09-20 à 20:26

2I = B+ C (1)
A = 4G-3I   (2)

Je ne comprends pas ces écritures .

Posté par
malou Webmaster
re : Barycentre 3 02-09-20 à 08:44

Bonjour à tous,
> Samsco
normal, ces écritures sont complètement abusives, et ne donnent aucun sens à la notion de barycentre
à éviter donc....

Posté par
Samsco
re : Barycentre 3 02-09-20 à 09:52

malou @ 02-09-2020 à 08:44

Bonjour à tous,
> Samsco
normal, ces écritures sont complètement abusives, et ne donnent aucun sens à la notion de barycentre
à éviter donc....


Ah d'accord
Sinon ,

Samsco @ 01-09-2020 à 19:37

Pourquoi doit-on écrire K comme barycentre des points A et B?

Posté par
Priam
re : Barycentre 3 02-09-20 à 11:13

D'après l'énoncé, le point K appartient au segment AB. Il est donc barycentre des points A et B avec des coefficients appropriés, et sa définition barycentrique fondée sur les points A et B ne peut contenir aucun autre point tel que le point C.

Posté par
Samsco
re : Barycentre 3 02-09-20 à 15:08

Ok donc , pour c=-3/2

K=bar{(A , 1),(B , 3/2)}

Or G=bar{(A , 1),(B , 3/2),(C , 3/2)}

=> G=bar{(K , 5/2),(C , 3/2)

=> (5/2)GK+(3/2)GC=0
=> 5GK+3GK+3KC=0
=> -8KG+3KC=0

=> K=bar{(G , -8),(C , 3)

Posté par
Priam
re : Barycentre 3 02-09-20 à 16:52

C'est juste.
Tu aurais pu aussi écrire :

K = bar{(A, 1),(B, 3/2), (C, 3/2), C( - 3/2)}

expression où on peut directement substituer G à A, B et C.

Posté par
Samsco
re : Barycentre 3 02-09-20 à 19:43

Ok merci !



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