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barycentre

Posté par
falljunior
20-02-13 à 18:15

bonjour de l'aide si possible.

soit ABC un triangle, A' B' et C' des points appartenant respetivement aux droites (BC)(CA) et (AB), distincts des sommets A B et C.
on suppose que les droites (AA'), (BB') et (CC') sont concourantes en un point G.

demontrer qu'il existe trois nombres réels a,b et c tels que G soit le barycentre des points pondérés (A,a) (B,b) et (C,c)

??

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : barycentre 20-02-13 à 20:30

Bonjour,

En dehors de certains cas d'alignement, un point quelconque peut toujours s'exprimer comme barycentres de 3 points prédéterminés du plan.

(à suivre)

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : barycentre 20-02-13 à 20:34

Soit A" le point d'intersection de (AG) et (BC) [comment être sûr que ces deux droites ne sont pas parallèles ?]

A" est un point de (BC) différent de B et C [pourquoi ?]
Donc il existe d et e de somme non nulle tels que A" = Barycentre B,d C,e

G est un point de (AA") différent de A et A" [pourquoi ?]
Donc il existe f et g tels que G = Barycentre A,f A",g

Finalement :
G = Barycentre A,f B,dg/(d+e) C,de/(d+e)

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par
falljunior
re : barycentre 20-02-13 à 20:38

ici je pense qu'il suffit juste de demontrer que a+b+c different de 0. dans ce cas G existe

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : barycentre 20-02-13 à 20:39

Je ne comprends pas ton message. Quelle démonstration proposes-tu ?

Posté par
falljunior
re : barycentre 20-02-13 à 20:46

j'ai pas de demonstratation. mais il est clair que le barycentre G des points pondérés (A,a) (B,b) et (C,c) existe si et seulement si a+b+c0

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : barycentre 20-02-13 à 20:49

Oui. Quand a, b et c sont connus.
Mais je ne vois pas bien le rapport.
Ici, a, b et c sont inconnus.
Et on te demande de montrer qu'ils existent (et non pas que G existe).

Posté par
falljunior
re : barycentre 20-02-13 à 20:53

mais je ne comprend pas votre demonstration.

Citation :
Finalement : G = Barycentre A,f B,dg/(d+e) C,de/(d+e


comment vous en etes arriver la? que viens faire les "d,e,f,g.."? est ce suffisant pour demontre que les points A,B,C existe?

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : barycentre 20-02-13 à 20:56

Pour mettre en oeuvre le "Finalement", j'ai appliqué la propriété d'associativité du barycentre.

Citation :
est ce suffisant pour demontre que les points A,B,C existe?

Je ne comprends pas ta question. On sait qu'ils existent. L'énoncé dit clairement "soit ABC un triangle"

Posté par
falljunior
re : barycentre 20-02-13 à 21:04

est ce suffisant pour

Citation :
demontrer qu'il existe trois nombres réels a,b et c tels que G soit le barycentre des points pondérés (A,a) (B,b) et (C,c)


??

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : barycentre 20-02-13 à 21:07

Il me semble, oui.
J'ai proposé une valeur possible pour a, b et c.

Posté par
falljunior
re : barycentre 20-02-13 à 21:19

il te semble?  comme si t'etait pas sur de ta demonstration?

en faite tu peus reprendre ta demonstration plus clairement parce que moi je comprend rien de ce que t'a ecris?

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : barycentre 20-02-13 à 22:17

Ce que tu as indiqué dans le premier message est vraiment l'énoncé complet ?
Il n'y a pas d'autres questions avant ou après ?

Posté par
falljunior
theoreme de Ceva 21-02-13 à 13:59

si il y'a d'autre question. d'ailleurs voici l'enoncé complet.

soit ABC un triangle, A' B' et C' des points appartenant respetivement aux droites (BC)(CA) et (AB), distincts des sommets A B et C.

1/ on suppose que les droites (AA'), (BB') et (CC') sont concourantes en un point G.
a) demontrer qu'il existe trois nombres réels a,b et c tels que G soit le barycentre des points pondérés (A,a) (B,b) et (C,c).
b) en appliquant le theoreme des barycentres pârtiels ux points A', B' et ', demontrer la relation de ceva
                            (A'B/A'C) (B'C/B'A) (C'A/C'B) = -1

2) reiproquement, on suppose que les points A', B' et C' verifient la relation precedente et que les droites (AA'),(BB') sont secantes en un point   K .  demontrer que les droites (AA') (BB') et (CC') sont conourantes.

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : barycentre 21-02-13 à 21:10

Cet énoncé me semble faux.
Le rapport de deux longueurs (positives) ne peut pas être égal à un nombre négatif (-1).
A moins que l'énoncé correct contienne plutôt des mesures algébriques ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : barycentre 21-02-13 à 22:20

Au bout du lien ci-après, tu trouveras une démonstration complète :
[PDF] http://www.panamaths.net/Documents/NotesLecture/NL_CEVA.pdf

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : barycentre 21-02-13 à 22:51

Voici la démonstration que j'avais trouvée de mon côté...

Dans ce qui suit, les coefficients barycentriques sont notés en indice des points.

1. Vu les situation de A', B' et C' sur leurs droites respectives, on a :
A' = \mathrm{Bar\ } B_{\bar{A'C}} \;\; C_{-\bar{A'B}}
B' = \mathrm{Bar\ } A_{\bar{B'C}} \;\; C_{-\bar{B'A}}
C' = \mathrm{Bar\ } A_{\bar{C'B}} \;\; B_{-\bar{C'A}}

2. G est sur (AA'). Il existe donc un \alpha tel que :
G = \mathrm{Bar\ } A_{\alpha} \;\; A'_{\bar{BC}}
Par associativité des barycentres, en exploitant la première égalité de 1., il vient :
G = \mathrm{Bar\ } A_{\alpha} \;\; B_{\bar{A'C}} \;\; C_{-\bar{A'B}}\;\; [1]

De même, il existe \beta et \gamma tels que :
G = \mathrm{Bar\ } A_{\bar{B'C}} \;\; B_{\beta} \;\; C_{-\bar{B'A}}\;\; [2]
G = \mathrm{Bar\ } A_{\bar{C'B}} \;\; B_{-\bar{C'A}} \;\; C_{\gamma}\;\; [3]

3. Les trois égalités [1], [2] et [3] définissent le même point G comme barycentre des mêmes points A, B et C. Leurs coefficients sont donc proportionnels :
\frac{\alpha}{\bar{B'C}} = \frac{\bar{A'C}}{\beta} = \frac{\bar{A'B}}{\bar{B'A}}\;\; [4]

\frac{\bar{C'B}}{\alpha} = \frac{-\bar{C'A}}{\bar{A'C}} = \frac{-\gamma}{\bar{A'B}}\;\; [5]

\frac{\bar{B'C}}{\bar{C'B}} = \frac{-\beta}{\bar{C'A}} = \frac{-\bar{B'A}}{\gamma}\;\; [6]

4. On tire respectivement de [4], [5] et [6] les égalités suivantes :
\left(\frac{\bar{A'B}}{\bar{B'A}}\right)^2 = \frac{\alpha}{\bar{B'C}} \times \frac{\bar{A'C}}{\beta}

\left(\frac{\bar{C'A}}{\bar{A'C}}\right)^2 = \frac{\bar{C'B}}{\alpha} \times \frac{-\gamma}{\bar{A'B}}

\left(\frac{\bar{B'C}}{\bar{C'B}}\right)^2 = \frac{\beta}{\bar{C'A}} \times \frac{\bar{B'A}}{\gamma}

5. On multiplie membre à membre :

\left( \frac{\bar{A'B}}{\bar{A'C}} \times \frac{\bar{B'C}}{\bar{B'A}} \times \frac{\bar{C'A}}{\bar{C'B}} \right)^2 =  \frac{-1}{ \frac{\bar{A'B}}{\bar{A'C}} \times \frac{\bar{B'C}}{\bar{B'A}} \times \frac{\bar{C'A}}{\bar{C'B}} }

Donc :
\left( \frac{\bar{A'B}}{\bar{A'C}} \times \frac{\bar{B'C}}{\bar{B'A}} \times \frac{\bar{C'A}}{\bar{C'B}} \right)^3 = -1

Donc :
\frac{\bar{A'B}}{\bar{A'C}} \times \frac{\bar{B'C}}{\bar{B'A}} \times \frac{\bar{C'A}}{\bar{C'B}} = -1

Nicolas

Posté par
falljunior
re : barycentre 22-02-13 à 00:16

d'accord...! et la reciproque?

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : barycentre 22-02-13 à 07:01

Une démonstration est proposée dans le PDF.

Posté par
falljunior
re : barycentre 22-02-13 à 14:55

oui c vrai
merci



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