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Niveau première
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barycentre

Posté par
kassa96
25-11-13 à 01:09

                      BONSOIR
Voici un exercice qui nous pose probléme moi et mon camarade de classe
  EXERCICE
Soient A, B et C trois points nom alignées du plan.
A' barycentre de {(A,0,)(B,b),(C,-c), B' celui de {(A,-a),(B,0),(C,c)} et C' celui de {(A,a),(B,-b),(C,0)}.Les réels a, b et c vérifient les conditions d'éxistence de ces barycentres.
1-démontrer que pour tous point M du plan:
(b-c)MA' + (c-a)MB' +(a-b)MC' = 0   (la somme des vecteurs est egale au vecteur nul)
-Démontrer que A', B' et C' sont alignées.
2-Soit (x, y,z) un triplet de réels dont la somme est nom nulle et soit P le barycentre de {(A,x),(B,y),(C,z)}.
!Démontrer que P est un point de la droite(A'B'C') si et seulement si:
bcx +cay +abz= 0   (la somme des produits des coefficients des barycentre est egale a 0).
Soit ABC un triangle tel que AB=c, BC=a, CA=b et G barycentre de {(A,x),(B,y),(C,z)}.Les reels x, y et z vérifient la condition d'éxistence du barycentre.
3- Démontrer que :
  a)GA^2+ GB^2- AB^2=2GA.GB.  (c est le produit scalaire GA.GB)
  b)xGA^2+ yGB^2+ zGC^2= (xyAB^2+yzBC^2+ zxAC^2)/x+y+y (le rapport sur la somme des coefficients).
4- Soit I le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC.Montrer que :
  aIA^2+bIB^2+cIC^2= abc

Posté par
kassa96
re : barycentre 25-11-13 à 01:14

on a trouvé la réponse du question 1 et 3a .Le reste nous pose probléme.

Posté par
cailloux Correcteur
re : barycentre 25-11-13 à 23:23

Bonsoir,

Vu que tu n' as pas eu de réponse, je me dévoue pour cette question 2) mais ma solution ne me plait guère.

2) Propriété fondamentale du barycentre:

Soit P le barycentre de \{(A,x');(B,y');(C,z')\}

Pour tout point M du plan on a la relation:

(x'+y'+z')\vec{MP}=x'\vec{MA}+y'\vec{MB}+z'\vec{MC}

Sans nuire à la généralité, x',y' et z' sont définis à une constante multiplicative près et on peut choisir ces coefficients en sorte que leur somme soit 1; il suffit de les diviser par x'+y'+z'

On obtient donc P barycentre de \{(A,x);(B,y);(C,z)\} avec x+y+z=1

et pour tout point M du plan:

\vec{MP}=x\vec{MA}+y\vec{MB}+z\vec{MC}

Avec M=A', on obtient:

\vec{A'P}=x\vec{A'A}+y\vec{A'B}+z\vec{A'C} (1)

De la même manière, avec B' barycentre de \{(A,-a);(C,c)\} (et c-a=1), on a pour tout point M du plan:

\vec{MB'}=-a\vec{MA}+c\vec{MC}

Avec M=A', on obtient:

\vec{A'B'}=-a\vec{A'A}+c\vec{A'C} (2)

Pour que P,A',B' soient alignés, il faut et il suffit qu' il existe un réel \lambda (non nul sinon A'=B=C') tel que:

\lambda{A'P}+(1-\lambda)\vec{A'B}=\vec{0}

C' est à dire en utilisant (1) et (2):

[\lambda x-(1-\lambda)a]\vec{A'A}+\lambda y\vec{A'B}+[\lambda z+(1-\lambda) c]\vec{A'C}=\vec{0}

Ce qui signifie que A' est le barycentre de \{(A,\lambda x-(1-\lambda)a);(B,\lambda y);(C,\lambda z+(1-\lambda) c)\}

Or A' est barycentre de \{(B,b);(C,-c)\}

L' unicité du barycentre et les coefficients étant définis à un facteur multiplicatif près, il existe donc un réel k tel que:

\begin{cases}\lambda x-(1-\lambda)a=0\\\lambda y=kb\\\lambda z+(1-\lambda) c=-kc\end{cases}

donc: \begin{cases}\lambda x=(1-\lambda)a\\\lambda y=kb\\\lambda z=(\lambda-1-k)c\end{cases}

et \lambda bcx+ \lambda cay+\lambda abz=bca(1-\lambda)+cabk+abc(\lambda-1-k)=0

donc bcx+cay+abz=0

Bon, il faudrait une réciproque...

Ton exercice est présenté avec les zéros de ceci:

Citation :
A' barycentre de {(A,0,)(B,b),(C,-c), B' celui de {(A,-a),(B,0),(C,c)} et C' celui de {(A,a),(B,-b),(C,0)}.


comme si on parlait de coordonnées barycentriques mais évidemment en 1ère, je ne pense pas que tu connaisses...

C' est bien dommage, car la solution tient en une ligne (réciproque comprise)



Posté par
cailloux Correcteur
re : barycentre 26-11-13 à 19:02

Pas d' amatheurs ?
J' espérais voir une réponse plus propre que la mienne et de niveau 1ére à cette question 2).

Posté par
flight
re : barycentre 26-11-13 à 20:06

salut

en exprimant les coordonnées de A', B' C' et P  dans (A,AB,AC)   et en determinant une droite passant par A' B' C'

on fait en sorte que P verifie l'équation de cette droite et on en tire la formulation donnée :bcx +cay +abz= 0

Posté par
cailloux Correcteur
re : barycentre 26-11-13 à 23:18

Je ne demande qu' à voir

Posté par
cailloux Correcteur
re : barycentre 29-11-13 à 18:15

Bon, ben on n' a rien vu...



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