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Barycentre

Posté par
bigsurprise
24-10-16 à 20:25

Bonsoir,

S'il vous plaît, merci à ceux qui voudraient bien me mettre sur la voie de résolution de cet exercice:

ABC est un triangle. On définit les points D,E et F de la façon suivante (vecteurs):
AD=-2AB, BE=-2BC et CF=kCA où k est un réel.
Déterminer k pour que les droites (CD), (AE) et (BF) soient concourantes.

Merci d'avance
Cordialement

Posté par
philgr22
re : Barycentre 24-10-16 à 21:06

Bonsoir :
Tu appelles G le point d'intersection de (CD) et (AE) en ecrivant que c'est un barycentre et ensuite tu calculeras ses coefficients pour qu'il soit barycentre de E,D et F.

Posté par
bigsurprise
re : Barycentre 24-10-16 à 22:29

Bonsoir philgr22,

Merci beaucoup; en suivant la voie que vous avez tracée,
soit G le point de concours des droites (CD), (AE) et(BF). G barycentre de (A,a), (E,1) avec a réel.
Or, BE=-2BC (vect) , donc G bary de (A,a), (B,3), (C,-2). D'autre part, G bary (C,c), (D,1) avec c réel.
De même, on a: (vect) AD=-2AB, d'où G bary (A,3),(B-2),(C,c).
D'après la proportionnalité du barycentre, a/3=-3/2=-2/c, ce qui donne a=-3 et c=-4/3.
Comme G appartient à (BF), G bary (B,b), (F,1) avec b réel.
CF=kCA, d'où G bary (A,1-k),(B,b),(C,k). La proportionnalité du barycentre permet d'écrire -3/1-k=3/b=-2/k, ce qui donne k=2/5.
Merci de corriger ce raisonnement dont je suis loin d'être satisfait.  

Cordialement

Posté par
philgr22
re : Barycentre 24-10-16 à 22:49

Ton raisonnement me parait correct.

Posté par
bigsurprise
re : Barycentre 24-10-16 à 23:06

Merci beaucoup philgr22

Bien cordialement

Posté par
Priam
re : Barycentre 25-10-16 à 09:09

J'ai toutefois un doute sur la valeur de  k  que tu trouves.
Personnellement, je trouve  k = 9/13 , valeur (environ 0,69) qui concorde bien avec les mesures que j'ai faites sur une figure réalisée avec soin.

Posté par
bigsurprise
re : Barycentre 26-10-16 à 01:26

Bonsoir à tous,

Merci beaucoup Priam, même si ma réponse est tardive(j'ai un peu délaissé le sujet depuis hier, pensant qu'il n'y a plus de réaction), désolé...

Je retravaillerai l'exercice pour voir où j'ai fait l'erreur sur la valeur de k; que penses-tu justement de la démarche? Es-tu du même avis que philgr22?

Encore merci d'avance.

Cordialement

Posté par
Priam
re : Barycentre 26-10-16 à 09:35

Ton mode de calcul n'est pas en cause.
Mais à la 5ème ligne de ton message de 22h29, il me semble que  a/3 = - 3/2 = - 2/c conduit plutôt à
a = - 9/2  et c = 4/3 , d'où
G bar (A,3), (B,-2), (C,c) = bar (A,3), (B,-2), C(4/3) .

Posté par
bigsurprise
re : Barycentre 26-10-16 à 11:13

Bonjour Priam,

Merci beaucoup, tu as tout à fait raison. Mon erreur est claire, je ne m'en suis pas rendu compte.

Bien cordialement

Posté par
Priam
re : Barycentre 26-10-16 à 14:45

Posté par
philgr22
re : Barycentre 26-10-16 à 18:23

Désolé de ne m'être arrêté qu'au raisonnement!!!

Posté par
bigsurprise
re : Barycentre 27-10-16 à 00:21

Bonsoir à tous,

Merci à philgr22 et à Priam pour leur précieuse aide.

Cordialement

Posté par
lake
re : Barycentre 27-10-16 à 09:56

Autre solution: le théorème de Céva:

(CD),(AE),(BF) sont concourantes \Longleftrightarrow \dfrac{\overline{DA}}{\overline{DB}}\,.\,\dfrac{\overline{EB}}{\overline{EC}}\,.\,\dfrac{\overline{FC}}{\overline{FA}}=-1

\dfrac{2}{3}\,.\,\dfrac{2}{3}\,.\,\dfrac{\overline{FC}}{\overline{FA}}=-1

9\,\vec{FA}+4\,\vec{FC}=\vec{0}

\vec{CF}=\dfrac{9}{13}\,\vec{CA}

Posté par
bigsurprise
re : Barycentre 31-10-16 à 19:04

Bonsoir à tous,

Merci à tous et mes excuses à lake pour le retard de remerciements (j'étais en déplacement).

Bien cordialement



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