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Barycentre

Posté par
Samsco 12-08-20 à 19:19

Bonjour j'ai besoin de votre aide svp

Exercice:

Soit une droite de repere (O,I) , on donne les points A et B d'abscisses respectives -3 et 3

1. Construire les points C et D tels que:
_ C est barycentre des points (A , 1) et (B , 2)
_ D est barycentre des points (A , 1) et (B , -2)

2. Determiner deux nombres entiers positifs c et d tels que:

_ A est barycentre des points (C , c) et (D , -d)
_ B est barycentre des points (C , c) et (D , d)

3. Soit J le milieu du segment [CD].  Verifier que:

OA^2=OB^2=\bar{OC}\times \bar{OD} et JC^2=JD^2=\bar{JA}\times \bar{JB}

Reponses:

1. _ Construisons le point C barycentre des points (A , 1) et (B , 2)

C=bar{(A , 1) , (B ,2)}
\\ \\ \vec{AC}=\dfrac{2}{1+2}\vec{AB} \\ \\ \vec{AC}=\dfrac{2}{3}\vec{AB} \\
                         I
.    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .
    A.          O  C            B          

_Construisons le point D barycentre des points (A , 1) et (B , -2)

D=bar{(A , 1) , (B , -2)}
\\ \vec{AD}=2\vec{AB}

.   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   . A       O  I      B                     D

2.
_ Determinons c et d pour que A soit barycentee des points ( C ,c) et (D , -d)

\vec{AD}=2\vec{AB} \\ \\ Or~\vec{AB}=\dfrac{3}{2}\vec{AC} \\ \\ \iff \vec{AD}=3\vec{AC} \\ \iff -3\vec{AC}+\vec{AD}=\vec{0} \\ \\ \iff 3\vec{AC}-\vec{AD}=\vec{0} \\ \\ c=-3~et~d=1 \\

_ Determinons c et d pour que B soit barycentre des points (C , c) et (D , d)

Posté par
lakere : Barycentre 12-08-20 à 21:50

Bonsoir,

Sans préjuger de tes réponses (que je n'ai pas lues), il existe une formule fondamentale dans le cours sur les barycentres:

  Si G est le barycentre du système \{(A_1,a_1);(A_2,a_2)\cdots (A_n,a_n)\} avec a_1+a_2+\cdots +a_n\not=0, alors pour tout point M du plan:

  a_1\vec{MA_1}+a_2\vec{MA_2}+\cdots +a_n\vec{MA_n}=(a_1+a_2+\cdots +a_n)\vec{MG}

M peut être remplacé par A_1,A_2,\cdots A_n ou même O l'origine du repère s'il est défini.

Posté par
Samscore : Barycentre 12-08-20 à 22:24

Oui mais comment cela m'aide dans ce cas présent ?

Posté par
lakere : Barycentre 12-08-20 à 22:44

On te demande de construire le barycentre de deux points.
Donc ici, n=2

Par exemple:

  

Citation :
_ C est barycentre des points (A , 1) et (B , 2)


Pour tout point M du plan, on a :

  \vec{MA}+ 2\vec{MB}=3\vec{MC}

Avec M=A, on obtient immédiatement :

\vec{AC}=\dfrac{2}{3}\vec{AB}

Ou encore avec M=B :

\vec {BC}=\dfrac{1}{3}\vec{BA}

  Ce qui revient au même.

Posté par
lakere : Barycentre 12-08-20 à 22:54

Et j'ajoute qu'avec M=C, on retombe sur la définition du barycentre que tu connais:

  \vec{CA}+2\vec{CB}=\vec{0}

Posté par
Samscore : Barycentre 13-08-20 à 17:53

Oui on me demande de construire le barycentre de deux points et je l'ai fait.

Est ce que ce que j'ai fait n'est pas correct?

Posté par
lakere : Barycentre 14-08-20 à 10:42

Ton énoncé a la bonne idée de te fournir le repère (0,\vec{i})

Tu peux calculer sans problème les abscisses des points C et D dans ce repère.

  Pour information:

   Barycentre

Maintenant on regarde:

  A est à "l'extérieur" du segment [CD] donc les coefficients seront de signes contraires.

  A est à 4 de C et à 12 de D

  A est donc barycentre du système \{(C,12);(D,-4)\} (remarque l'interversion des coefficients par rapport aux distances).

ou encore  A est  barycentre du système \{(C,3);(D,-1)\}

B est "sur" le segment [CD] donc les coefficients seront de mêmes signes.

  B est à 2 de C et à 6 de D

B est donc barycentre du système \{(C,6);(D,2)\} (remarque  toujours l'interversion des coefficients par rapport aux distances).

ou encore B est barycentre du système \{(C,3);(D,1)\}

Tout ceci pour vérifications mais qui ne te dispense pas des calculs indispensables.





  

Posté par
Samscore : Barycentre 17-08-20 à 09:54

Ok je calcule alors les abscisses des points C et D.

On a: C=bar{(A , 1) , (B , 2)}

\\ \bar{OC}=\dfrac{1}{1+2}(1×\bar{OA}+2×\bar{OB}) \\ \\ \iff \bar{OC}=\dfrac{1}{3}(3+2×(-3)) \\ \\ \iff \bar{OC}=-1

Et D=bar{(A , 1) , (B , -2)}

\bar{OD}=\dfrac{1}{1-2}(1×\bar{OA}-2×\bar{OB}) \\ \\ \iff \bar{OD}=-(3-2×(-3)) \\ \\ \iff \bar{OD}=-9

Posté par
lakere : Barycentre 17-08-20 à 11:10

Oui et tu peux aussi calculer l'abscisse de J milieu de [CD].

Les vérifications du 3) sont alors faciles à faire.

Posté par
Samscore : Barycentre 19-08-20 à 16:50

J=bar{(C , 1) , (D , 1)}

\bar{OJ}=\dfrac{1}{2}(\bar{OC}+\bar{OD}) \\ \\ \bar{OJ}=\dfrac{1}{2}(-1-9) \\ \\ \bar{OJ}=-5 \\

3-
Comment passe t-on de \bar{OA} à OA² ?

Posté par
lakere : Barycentre 19-08-20 à 17:23

OA^2=(\overline{OA})^2

Posté par
Samscore : Barycentre 19-08-20 à 17:42

Ok

3-

\bar{OA}=3 \iff OA²=9 \\ \bar{OB}=-3 \iff OB²=9 \\ \bar{OC}×\bar{OD}=(-1)×(-9)=9 \\ \\ donc~OA²=OB²=\bar{OC}×\bar{OD} \\ \\ \bar{JC}=4 \iff JC²=16 \\ \bar{JD}=-4 \iff JD²=16 \\ \\ \bar{JA}×\bar{JB}=8×2=16 \\ \\ donc~JC²=JD²=\bar{JA}×\bar{JB} \\

Posté par
lakere : Barycentre 19-08-20 à 18:03

Je crois comprendre que tu demandes ma bénédiction.
À ce stade, je pense que tu es très capable de dire si ce que tu as fait est juste ou non.

Posté par
Samscore : Barycentre 19-08-20 à 18:34

lake @ 19-08-2020 à 18:03

Je crois comprendre que tu demandes ma bénédiction.
À ce stade, je pense que tu es très capable de dire si ce que tu as fait est juste ou non.


Mdr

Merci pour tout!

Posté par
lakere : Barycentre 19-08-20 à 18:37

De rien Samsco


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