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Barycentre

Posté par
Samsco
30-09-20 à 21:19

Bonsoir j'ai besoin de votre aide svp.

Exercice:

Soit I le centre d?un parallélogramme non aplati ABCD.

1. Déterminer des coefficients b, c, d pour lesquels I est le barycentre de {(B, b) ; (C, c) ; (D, d)}.

2. Quel est l?ensemble des points G, barycentres des points A, B, C et D affectés des coefficients , 2, -1 et 1-2 est un réel quelconque ?

3. Préciser la valeur de pour laquelle G est un point de (AC).

Reponses :

1- I est centre du parallélogramme ABCD. Comme I est le point d'intersection des diagonales (BD) et (AC) alors I est milieu de [AC] et [BD].

I=bar{(B , 1) , (D , 1)}
I=bar{(B , 1) , (C , 0) , (D , 1)}

2- Je ne sais pas quoi faire

***Titre corrigé***

Posté par
Priam
re : Baryce 30-09-20 à 22:08

Bonsoir,
2. Je te suggère d'écrire la relation vectorielle correspondant à la définition de G comme barycentre et d'y décomposer les vecteurs GB, GC et GD afin de faire apparaître le vecteur GA, puis de réduire le plus possible l'expression obtenue.

Posté par
Samsco
re : Baryce 01-10-20 à 13:51

-1) , (D , 1-2)}

\gamma \vec{GA}+2\vec{GB}+(\gamma-1)\vec{GC}+(1-2 \gamma)\vec{GD}=\vec{0}
 \\ 
 \\ \iff \gamma \vec{GA}+2\vec{GA}+(\gamma-1)\vec{GA}+(1-2 \gamma)\vec{GA}+2\vec{IB}+(\gamma-1)\vec{IC}+(1-2 \gamma)\vec{ID}=\vec{0} 
 \\ 
 \\ \iff 2\vec{GA}+2\vec{IB}-(1-2 \gamma)\vec{IB}+(\gamma-1)\vec{IC}=\vec{0}
 \\ 
 \\ \iff 2\vec{GA}+(1+2 \gamma)\vec{IB}+(\gamma-1)\vec{IC}

Posté par
Samsco
re : Baryce 01-10-20 à 13:53

Samsco @ 01-10-2020 à 13:51

-1) , (D , 1-2)}

\gamma \vec{GA}+2\vec{GB}+(\gamma-1)\vec{GC}+(1-2 \gamma)\vec{GD}=\vec{0}
 \\ 
 \\ \iff \gamma \vec{GA}+2\vec{GA}+(\gamma-1)\vec{GA}+(1-2 \gamma)\vec{GA}+2\vec{IB}+(\gamma-1)\vec{IC}+(1-2 \gamma)\vec{ID}=\vec{0} 
 \\ 
 \\ \iff 2\vec{GA}+2\vec{IB}-(1-2 \gamma)\vec{IB}+(\gamma-1)\vec{IC}=\vec{0}
 \\ 
 \\ \iff 2\vec{GA}+(1+2 \gamma)\vec{IB}+(\gamma-1)\vec{IC} {\red{=\vec{0}}}

Posté par
Priam
re : Baryce 01-10-20 à 18:00

Bonjour,
Je ne comprends pas bien ton calcul de 13h51. On dirait que tu remplaces le vecteur GB par GA + IB . . . .
Remplace plutôt GB par GA + AB (il ne me paraît pas nécessaire d'introduire le point I).

Posté par
Samsco
re : Baryce 01-10-20 à 19:11

Samsco @ 01-10-2020 à 13:51

-1) , (D , 1-2)}

\gamma \vec{GA}+2\vec{GB}+(\gamma-1)\vec{GC}+(1-2 \gamma)\vec{GD}=\vec{0}
 \\ 
 \\ \iff \gamma \vec{GA}+2\vec{GA}+(\gamma-1)\vec{GA}+(1-2 \gamma)\vec{GA}+2\vec{{\red{A}}B}+(\gamma-1)\vec{{\red{A}}C}+(1-2 \gamma)\vec{{\red{A}}D}=\vec{0} 
 \\ 
 \\ \iff 2\vec{GA}+2\vec{{\red{A}}B}+(1-2 \gamma)\vec{{\red{AD}}}+(\gamma-1)\vec{{\red{A}}C}=\vec{0}
 \\ 
 \\

Posté par
Priam
re : Baryce 01-10-20 à 19:27

Oui. Maintenant, regroupe, dans ce qui suit 2GA, les vecteurs qui ont des coefficient constants et les vecteurs qui ont pour coefficient, puis réduit dans chacun des deux groupes.

Posté par
Samsco
re : Baryce 04-10-20 à 18:46

\iff 2\vec{GA}+2\vec{AB}-(2\gamma-1)\vec{AD}+(\gamma-1)\vec{AC}=\vec{0}
 \\ 
 \\ \iff 2\vec{GA}+2\vec{AB}+(\gamma-1)\vec{AD}+\gamma\vec{AD}+(\gamma-1)\vec{AC}=\vec{0}
 \\ 
 \\ \iff 2\vec{GA}+2\vec{AB}+(\gamma-1)(\vec{AD}+\vec{AC})+\gamma\vec{AD}=\vec{0}
 \\ 
 \\

Qu'est ce que je dois faire à ce niveau ?

Posté par
Priam
re : Barycentre 04-10-20 à 19:27

Pour continuer, fais ce que je t'avais indiqué dans mon dernier message.

Posté par
Samsco
re : Barycentre 04-10-20 à 19:47

\iff 2\vec{GA}+2\vec{AB}-(2\gamma-1)\vec{AD}+(\gamma-1)\vec{AC}=\vec{0}
 \\ 
 \\ \iff 2(\vec{GA}+\vec{AB})+(\gamma-1)\vec{AD}+\gamma\vec{AD}+(\gamma-1)\vec{AC}=\vec{0}
 \\ 
 \\ \iff 2\vec{GB}+(\gamma-1)(\vec{AD}+\vec{AC})+\gamma\vec{AD}=\vec{0}
 \\ 
 \\

comment je réduis (AD+AC)

Posté par
Priam
re : Barycentre 04-10-20 à 19:56

Ce n'est pas tout à fait cela que je te demandais de faire.
Développe la première ligne et mets en facteur . Que devient l'expression ?

Posté par
Samsco
re : Barycentre 04-10-20 à 21:31

\iff 2\vec{AG}+2\vec{AB}+2\gamma\vec{AD}-\vec{AD}+\gamma\vec{AC}-\vec{AC}=\vec{0}
 \\ 
 \\ \iff 2\vec{GA}+2\vec{AB}+\gamma(2\vec{AD}-\vec{AC})-(\vec{AD}+\vec{AC})=\vec{0}

Posté par
Priam
re : Barycentre 04-10-20 à 21:57

Oui. Mais il me semble qu'il y a une faute de signe.
Maintenant, considère les vecteurs sans et réduit leur écriture.
Puis fais de même pour les vecteurs que multiplie .

Posté par
Samsco
re : Barycentre 04-10-20 à 22:43

\iff 2\vec{AG}+2\vec{AB}-2\gamma\vec{AD}+\vec{AD}+\gamma\vec{AC}-\vec{AC}=\vec{0}
 \\ 
 \\ \iff 2\vec{GA}+2\vec{AB}+\gamma(-2\vec{AD}+\vec{AC})+\vec{AD}-\vec{AC})=\vec{0}
 \\ 
 \\ \iff 2\vec{GA}+2\vec{AB}+\gamma(-2\vec{BC}+\vec{AC})+\vec{BC}-\vec{AC}=\vec{0}
 \\ 
 \\ \iff 2\vec{GA}+2\vec{AB}+\gamma(\vec{CB}+\vec{AC}+\vec{CB})+\vec{BC}+\vec{CA}=\vec{0}
 \\ 
 \\ \iff 2\vec{GA}+2\vec{AB}+\gamma(\vec{CB}+\vec{AB})+\vec{BA}=\vec{0}
 \\ 
 \\ \iff 2\vec{GA}+\vec{AB}+\gamma(-\vec{BC}-\vec{CD})=\vec{0}
 \\ 
 \\ \iff 2\vec{GA}+\vec{AB}-\gamma \vec{BD}=\vec{0}

Posté par
Priam
re : Barycentre 05-10-20 à 09:24

Exact.
Tu pourrais maintenant  conjecturer le lieu du point G en donnant quelques valeurs simples à   .

Posté par
Samsco
re : Barycentre 05-10-20 à 22:54

\iff \vec{AG}=\dfrac{1}{2}(\gamma\vec{BD}-\vec{AB})
 \\ 
 \\ Si~\gamma=0
 \\ 
 \\ \vec{AG}=-\dfrac{1}{2}\vec{AB}
 \\ 
 \\ Si~\gamma=1
 \\ 
 \\ \vec{AG}=\vec{BD}+\vec{BA}

Posté par
Priam
re : Barycentre 06-10-20 à 09:54

Oui. Si = 0 , où est le point G ?
Et si = - 1 ?

Posté par
Samsco
re : Barycentre 12-10-20 à 16:53

_ Si =0 , AG=-(1/2)AB

_ Si =-1 , AG=1/2(BA-BD)

Posté par
Samsco
re : Barycentre 12-10-20 à 16:58

Si =-1 , AG=-(1/2)AD

Posté par
Samsco
re : Barycentre 12-10-20 à 17:10

Je n'arrive toujours pas à trouver l'ensemble des points G.

Posté par
Priam
re : Barycentre 12-10-20 à 20:02

A 22h54 et la suite, il y a des fautes de signe.
Corrige-les et place sur le parallélogramme les points Go, G-1 et G1 . Tu devrais pouvoir conjecturer.

Posté par
Priam
re : Barycentre 12-10-20 à 20:44

Une indication pour déterminer l'ensemble des points G : en exprimant le vecteur AG en fonction des vecteurs AB et AD, tu obtiendras les coordonnées (en fonction de ) de G dans le repère (A; AB; AD).

Posté par
Samsco
re : Barycentre 14-10-20 à 18:56

\iff \vec{AG}=\dfrac{1}{2}(\vec{AB}-\gamma\vec{BD})
 \\ 
 \\ Si~\gamma=0
 \\ 
 \\ \vec{AG}=\dfrac{1}{2}\vec{AB}
 \\ 
 \\ Si~\gamma=1
 \\ 
 \\ \vec{AG}=\dfrac{1}{2}(\vec{AB}-\vec{BD})=\vec{AB}-\dfrac{1}{2}\vec{AD}
 \\ 
 \\ Si~\gamma=-1
 \\ 
 \\ \vec{AG}=\dfrac{1}{2}\vec{AD}

L'ensemble des points G est la droite passant par les milieux des segments [AB] et [AD].

Posté par
Samsco
re : Barycentre 17-10-20 à 10:15

C'est bon ?

Posté par
Priam
re : Barycentre 17-10-20 à 19:13

Bonsoir,
Oui, c'est bon.
Pour le démontrer, tu pourrais faire ce que je te suggérais le 14-10.

Posté par
Samsco
re : Barycentre 17-10-20 à 19:27

Vous parlez sans doute du 12-10.

Samsco @ 14-10-2020 à 18:56

\iff \vec{AG}=\dfrac{1}{2}(\vec{AB}-\gamma\vec{BD})
 \\ 
 \\ Si~\gamma=0
 \\ 
 \\ \vec{AG_0}=\dfrac{1}{2}\vec{AB}
 \\ 
 \\ {\blue{G_0(1/2~;~0)}}
 \\ 
 \\ Si~\gamma=1
 \\ 
 \\ \vec{AG_1}=\dfrac{1}{2}(\vec{AB}-\vec{BD})=\vec{AB}-\dfrac{1}{2}\vec{AD}
 \\ 
 \\ {\blue{G_1(1~;~-1/2)}}
 \\ 
 \\ Si~\gamma=-1
 \\ 
 \\ \vec{AG_{-1}}=\dfrac{1}{2}\vec{AD}
 \\ 
 \\ {\blue{G_{-1}(0~;~1/2)}}

Posté par
Priam
re : Barycentre 17-10-20 à 20:14

D'accord (oui, c'était 12-10).
Mais tu n'as pas exprimé le vecteur AG comme je te l'indiquais . . .

Posté par
Samsco
re : Barycentre 17-10-20 à 21:10

Samsco @ 14-10-2020 à 18:56

\iff \vec{AG}=\dfrac{1}{2}(\vec{AB}-\gamma\vec{BD})
 \\ 
 \\ Si~\gamma=0
 \\ 
 \\ \vec{AG_0}=\dfrac{1}{2}\vec{AB}{\blue{+0×\vec{AD}}}
 \\ 
 \\ {\blue{G_0(1/2~;~0)}}
 \\ 
 \\ Si~\gamma=1
 \\ 
 \\ \vec{AG_1}=\dfrac{1}{2}(\vec{AB}-\vec{BD})=\vec{AB}-\dfrac{1}{2}\vec{AD}
 \\ 
 \\ {\blue{G_1(1~;~-1/2)}}
 \\ 
 \\ Si~\gamma=-1
 \\ 
 \\ \vec{AG_{-1}}={{\blue{0×\vec{AB}+}}\dfrac{1}{2}\vec{AD}
 \\ 
 \\ {\blue{G_{-1}(0~;~1/2)}}

Posté par
Priam
re : Barycentre 17-10-20 à 21:41

AG = 1/2(AB - BD) = quoi en fonction de AB et AD ?

Posté par
Samsco
re : Barycentre 17-10-20 à 21:46

AG=1/2(AB-BA-AD)
AG=1/2[(1+)AB-AD]

Posté par
Priam
re : Barycentre 18-10-20 à 10:13

D'où, dans le repère (A; AB; AD)
xG = . . .
yG = . . .
et une équation de l'ensemble des points G.

Posté par
Samsco
re : Barycentre 19-10-20 à 19:29

xG=1/2+(1/2)
yG=-(1/2)

yG=(1/2)-xG

Posté par
Priam
re : Barycentre 19-10-20 à 20:51

Exact. Le point G appartient donc à la droite qui passe par les milieux des côtés AB et AD du parallélogramme.

Posté par
Samsco
re : Barycentre 19-10-20 à 21:05

3-Comment je peux répondre à la question ?
J'ai pensé à écrire une équation de la droite (AC) mais je ne connais pas les coordonnées du point C.

Posté par
Priam
re : Barycentre 20-10-20 à 09:36

3. Considère que les points de la droites (AC) ont abscisse et ordonnée égales.

Posté par
Priam
re : Barycentre 20-10-20 à 09:41

* la droite

Posté par
Samsco
re : Barycentre 20-10-20 à 19:49

C est un point de (AC)

xC=AB
yC=AD

Mais AD≠AB

Posté par
Priam
re : Barycentre 20-10-20 à 20:06

Oui, mais AB et AD sont les vecteurs unitaires du repère.

Posté par
Samsco
re : Barycentre 25-10-20 à 20:30

Samsco @ 19-10-2020 à 19:29

xG=1/2+(1/2)
yG=-(1/2)

yG=(1/2)-xG[/quote

xG=yG <=> +1/2=0
<=> =-1/2

Posté par
Priam
re : Barycentre 25-10-20 à 21:42

Exact.

Posté par
Samsco
re : Barycentre 26-10-20 à 09:25

Ok merci pour tout !

Posté par
Priam
re : Barycentre 26-10-20 à 09:34



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