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Barycentre 9

Posté par
Samsco
18-09-20 à 18:00

Bonjour j'ai besoin de votre aide svp.

Exercice:

On considère une droite (D) , un point P extérieur à cette droite et H le projeté orthogonal de P sur (D).
À tout point M de la droite (D) , on associe le point N barycentre des points pondérés ( M , HP²) et (P , HM²).

1- Exprimer le vecteur \vec{HN} en fonction de \vec{HM} et \vec{HP}.

2- En déduire que les vecteurs \vec{HN} et \vec{MP} sont orthogonaux.

3- Déduire de la question précédente le lieu des points N lorsque M décrit la droite (D).

Reponses:

1-
N=bar{(M , HP²) , (P , HM²)}

\vec{MN}=\dfrac{HM²}{HP²+HM²}\vec{MP}
 \\ \iff \vec{MH}+\vec{HN}=\dfrac{HM²}{HP²+HM²}\vec{MH}+\dfrac{HM²}{HP²+HM²}\vec{HP}
 \\ 
 \\ \iff \vec{HN}=\left(1-\dfrac{HM²}{HP²+HM²}\right)\vec{HM}+\dfrac{HM²}{HP²+HM²}\vec{HP}
 \\ 
 \\ \iff \vec{HN}=\dfrac{HP²}{HP²+HM²}\vec{HM}+\dfrac{HM²}{HP²+HM²}\vec{HP}
 \\ 
 \\ \iff \vec{HN}=\dfrac{1}{HP²+HM²}\left(HP²\vec{HM}+HM²\vec{HP}\right)

2-

\vec{HN}.\vec{BC}=\dfrac{1}{HP²+HM²}\left(HP²\vec{HM}.\vec{MP}+HM²\vec{HP}.\vec{MP}\right)

Je ne sais plus quoi faire.

Posté par
Priam
re : Barycentre 9 18-09-20 à 18:45

Bonjour,
2. Dans le second membre, tu pourrais mettre en facteur le produit scalaire  HP.HM .

Posté par
mathafou Moderateur
re : Barycentre 9 18-09-20 à 18:49

Bonjour,
BC ??

question 2 :
développer \vec{HN}.\vec{MP} = \vec{HN}.\left(\vec{MH}+\vec{HP}\right)
avec la formule de la question 1

et en tenant compte que \vec{HM} et \vec{HP} sont orthogonaux


nota : tu as un problème dans la numérotation de tes exos : il y avait deux exos 8 dont un que j'avais renommé en 9
maintenant il y a donc deux exos 9

Posté par
mathafou Moderateur
re : Barycentre 9 18-09-20 à 18:57

Priam (bonjour)
hum,
ce produit scalaire ne me semble pas apparaitre directement dans son second membre
mais je te laisse continuer sur ton idée ...
en justifiant soigneusement cette espèce d'associativité de produits scalaires de 4 vecteurs que tu sembles employer ?? ou alors je n'ai pas compris ce que tu dis.

Posté par
Priam
re : Barycentre 9 18-09-20 à 19:13

Bonjour mathafou,

HP² , n'est-ce pas égal au produit scalaire  HP.HP ?

Posté par
Samsco
re : Barycentre 9 18-09-20 à 19:17

Priam @ 18-09-2020 à 18:45

Bonjour,
2. Dans le second membre, tu pourrais mettre en facteur le produit scalaire  HP.HM .


\vec{HN}.\vec{MP}=\dfrac{1}{HP²+HM²}(\vec{HP}².\vec{HM}.\vec{MP}+\vec{HM}².\vec{HP}.\vec{MP})
 \\ 
 \\ \iff \vec{HN}.\vec{MP}=\dfrac{1}{HP²+HM²}\vec{HP}.\vec{HM}.\vec{MP}(\vec{HP}+\vec{HM})

Or \vec{HM}.\vec{HP}=0
 \\ 
 \\ \iff \vec{HN}.\vec{MP}=0

Posté par
mathafou Moderateur
re : Barycentre 9 18-09-20 à 19:30

évidemment si on écrit de la même façon un produit scalaire de deux vecteurs, le produit d'un vecteur par un nombre ou le produit de deux nombres


j'attends une justification sérieuse de

\vec{A}.\vec{B} \times \vec{C}.\vec{D}  = \vec{A}.\left(\left(\vec{B}.\vec{C}\right)\times \vec{D}\right)

Posté par
Samsco
re : Barycentre 9 18-09-20 à 19:37

mathafou @ 18-09-2020 à 18:49

Bonjour,
BC ??

question 2 :
développer \vec{HN}.\vec{MP} = \vec{HN}.\left(\vec{MH}+\vec{HP}\right)
avec la formule de la question 1

et en tenant compte que \vec{HM} et \vec{HP} sont orthogonaux


\vec{HN}.\vec{MP}=\vec{HN}.\vec{MH}+\vec{HN}.\vec{HP}
 \\ \iff \vec{HN}.\vec{MP}=\dfrac{1}{HP²+HM²}\left[(HP².\vec{HM}.\vec{MH}+HM².\vec{HP}.\vec{MH}\right)+(HP².\vec{HM}.\vec{HP}+HM².HP²)]
 \\ 
 \\

Citation :
nota : tu as un problème dans la numérotation de tes exos : il y avait deux  exos 8 dont un que j'avais renommé en 9
maintenant il y a donc deux exos 9


Oui je n'avais pas remarqué que vous avez renommé l'un de mes topics , désolé.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Barycentre 9 18-09-20 à 19:43

ton dernier post :
oui
tu continues en anullant les \vec{HP}.\vec{HM} car orthogonaux et avec \vec{HM}.\vec{MH} = -HM^2

Posté par
Samsco
re : Barycentre 9 18-09-20 à 19:54

mathafou @ 18-09-2020 à 19:43

ton dernier post :
oui
tu continues en anullant les \vec{HP}.\vec{HM} car orthogonaux  et avec \vec{HM}.\vec{MH} = -HM^2


On obtient

\vec{HN}.\vec{MP}=\left[(-HM².HP²-HM².\vec{HM}.\vec{HP})+HP²(\vec{HM}.\vec{HP}+HM²)\right]
 \\ 
 \\ \iff \vec{HN}.\vec{MP}=\left[-HM²(HP²+\vec{HM}.\vec{HP})+HP².HM²\right]
 \\ 
 \\ \iff \vec{HN}.\vec{MP}=HP².HM²-HM².HP²
 \\ 
 \\ \iff \vec{HN}.\vec{MP}

Comment pouvais je savoir que je devais transformer MP en MH+HP ( en vecteurs ) pour trouver le résultat.

Posté par
Samsco
re : Barycentre 9 18-09-20 à 19:55

\vec{HN}.\vec{MP}=0

Posté par
mathafou Moderateur
re : Barycentre 9 18-09-20 à 20:00

Citation :
Comment pouvais je savoir que je devais transformer MP en MH+HP

parce que la question 1 décompose déja HN selon ces deux mêmes vecteurs
(au signe près MH =-HM)
c'est un peu comme si on avait choisi une "base" (HM; HP) comme repère.

Posté par
Samsco
re : Barycentre 9 18-09-20 à 20:13

Ah ouais d'accord.

Pour la derniere question  , je propose:

Lorsque M décrit la droite (D) , le point N se trouve sur la droite perpendiculaire à (MP) et sécante à (D) en H.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Barycentre 9 18-09-20 à 20:20

Non
car la droite (MP) varie et donc la direction de (HN) aussi


mais ... où est précisément N ?

avec
(HN) (MP)

et

Samsco à 18:00

...
\vec{MN}=\dfrac{HM²}{HP²+HM²}\vec{MP}

Posté par
Samsco
re : Barycentre 9 18-09-20 à 21:06

Les vecteurs MN et MP sont colinéaires , donc (MN) et (MP) sont parallèles.

(HN) (MP) <=> (HN) (MN)

Je ne vois toujours pas comment trouver le lieu géométrique de N.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Barycentre 9 18-09-20 à 21:16

il faudrait deja trouver N lui-même !! (faire une figure avec explicitement le point N exact en fonction,de M variable)
et tout va s'éclairer
(en plus avec Geogebra on peut même déplacer M et observer comment se déplace N)

Citation :
(MN) et (MP) sont parallèles.
bof ... mais elles ont le point M en commun ! elles sont donc carrément confondues
autrement dit N appartient à la droite (MP) ...

Posté par
Samsco
re : Barycentre 9 18-09-20 à 22:36

mathafou @ 18-09-2020 à 21:16

mais elles ont le point M en commun ! elles sont donc carrément confondues


Si elles ont le point M en commun , ça signifie que M , P et N sont alignés   , pourquoi dites-vous qu'elles sont confondues

Posté par
mathafou Moderateur
re : Barycentre 9 18-09-20 à 23:32

"M, N , P alignés" est totalement équivalent à "les droites (MN) et (MP) sont la même droite", qu'elles sont confondues

Posté par
mathafou Moderateur
re : Barycentre 9 18-09-20 à 23:37

suite à message privé de malou

@ Priam : je te prie de m'excuser si j'ai semblé "voler" ce sujet

mais je continue à penser que ta méthode de la question 2 n'est pas correcte même si elle semble démontrer le résultat.
comme je l'ai dit dans

mathafou @ 18-09-2020 à 19:30

évidemment si on écrit de la même façon un produit scalaire de deux vecteurs, le produit d'un vecteur par un nombre ou le produit de deux nombres

j'attends une justification sérieuse de

\vec{A}.\vec{B} \times \vec{C}.\vec{D}  = \vec{A}.\left(\left(\vec{B}.\vec{C}\right)\times \vec{D}\right)


et tu peux prendre la main quand tu veux.
y compris pour cette dernière question 3

Posté par
Samsco
re : Barycentre 9 18-09-20 à 23:39

Ok vu que HM²/(HP²+HM²) >0  , on peut dire que N [BC] non?

Posté par
Samsco
re : Barycentre 9 18-09-20 à 23:41

Samsco @ 18-09-2020 à 23:39

Ok vu que HM²/(HP²+HM²) >0 et que HP²+HM² > HM² , on peut dire que N [MP] non?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Barycentre 9 18-09-20 à 23:43

en l'absence de Priam, je poursuis

oui, mais encore ce "BC" ???

mais N ∈ (MP) suffit
et comme (HN) ⊥ (MP)
on sait exactement où est N ... (c'est à dire le tracer sur la figure)

Posté par
Samsco
re : Barycentre 9 18-09-20 à 23:45

Samsco @ 18-09-2020 à 19:17


\vec{HN}.\vec{MP}=\dfrac{1}{HP²+HM²}(\vec{HP}².\vec{HM}.\vec{MP}+\vec{HM}².\vec{HP}.\vec{MP})
 \\ 
 \\ \iff \vec{HN}.\vec{MP}=\dfrac{1}{HP²+HM²}\vec{HP}.\vec{HM}.\vec{MP}(\vec{HP}+\vec{HM})

Or \vec{HM}.\vec{HP}=0
 \\ 
 \\ \iff \vec{HN}.\vec{MP}=0

Ça veut dire que tout ça n'est pas correct ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Barycentre 9 19-09-20 à 00:30

c'est ce que j'ai dit à 19:30
bull; cette écriture est fausse à la base parce qu'elle confond le produit scalaire de deux vecteurs (un point) et le produit par un nombre qu'il vaut mieux écrire autrement : rien du tout ou × si on veut l'écrire explicitement.

l'écriture correcte est

\vec{HN}.\vec{MP}=\dfrac{1}{HP²+HM²}(\vec{HP}²\times\vec{HM}.\vec{MP}+\vec{HM}²\times\vec{HP}.\vec{MP})
 \\
c'est à dire avec développement du carré scalaire en ce qu'il est, \vec{HP}² =  \vec{HP}.\vec{HP}   :

\left((\vec{HP}.\vec{HP}\right)\times\left(\vec{HM}.\vec{MP}\right)  etc

• et sans une justification exacte (car c'est faux dans le cas général avec des vecteurs A, B, C, D de mon message de 19h30)
on ne peut pas "extraire" un des \vec{HP} de son produit scalaire à lui pour le mettre avec un autre dans ce produit (ordinaire × ) comme il est fait ensuite.

on attend la réponse de Priam à ce sujet. et on n'en dira rien de plus en attendant.

ce n'est pas grave car on dispose d'une autre méthode sans ambiguïté (en décomposant comme fait à 19:37 et la suite)
de toute façon c'est une méthode OU l'autre, au choix, pas les deux.
la méthode "Priam" étant pour l'instant au minimum non justifiée correctement.

Posté par
Samsco
re : Barycentre 9 19-09-20 à 07:19

D'accord!

Posté par
mathafou Moderateur
re : Barycentre 9 19-09-20 à 08:16

après réflexion, elle est même réellement fausse.

explication :

Samsco le 18-09-20 à 18:00

\vec{HN}.\vec{BC}=\dfrac{1}{HP²+HM²}\left(HP²\vec{HM}.\vec{MP}+HM²\vec{HP}.\vec{MP}\right)
proposition de Priam :
Priam

Dans le second membre, tu pourrais mettre en facteur le produit scalaire HP.HM .

je m'insurge immédiatement et Priam rétorque
Priam

HP² , n'est-ce pas égal au produit scalaire HP.HP ?
que tu appliques de suite (à 19h17) :

\vec{HN}.\vec{MP}=\dfrac{1}{HP²+HM²}(\vec{HP}².\vec{HM}.\vec{MP}+\vec{HM}².\vec{HP}.\vec{MP})

OK mais mal écrit car ne fait pas la différence entre produit scalaire de deux vecteurs et produit par un nombre qui sont deux opérations fondamentalement différentes.

correct est

\vec{HN}.\vec{MP}=\dfrac{1}{HP²+HM²}\left[\left(\vec{HP}²\times \vec{HM}\right).\vec{MP}+ etc \;\right] \; (pareil pour l'autre terme de la somme)
avec \times pour la multiplication d'un vecteur par un nombre ou de deux nombres entre eux

ensuite on prétend que ce serait la même chose que

\vec{HN}.\vec{MP}=\dfrac{1}{HP²+HM²}\vec{HP}.\vec{HM}.\vec{MP}(\vec{HP}+\vec{HM})

ce qui veut dire qu'on prétend que (avant la factorisation)

\left((\vec{HP}.\vec{HP})\times \vec{HM}\right).\vec{MP}
serait la même chose que

\left(\vec{HP}.\vec{HM}\right)\times\vec{MP}.\vec{HP}
ce qui est faux.
parce que en confondant les produits scalaire et la multiplication par un nombre, car écrits pareils, on croit à tort que c'est comme pour la multiplication de nombres réels entre eux, que a.b.c.d est la même chose que a.(b.c).d (associativité) et (b.c).d.a

en effet dans \left((\vec{HP}.\vec{HP})\times \vec{HM}\right).\vec{MP} :

\vec{HP}.\vec{HP}\; \; est un nombre réel non nul

son produit par le vecteur \vec{HM} non nul est un vecteur non nul
(le morceau ''HP^2.\vec{HM}'' de l'expression de la question 1, avec toujours cette même confusion sur les signes d'opération)
colinéaire avec \vec{HM}

on fait ensuite le produit scalaire avec \vec{MP}
non nul et non orthogonal à \vec{HM}

le résultat est donc un nombre réel non nul. (produit scalaire de deux vecteurs ni nuls ni orthogonaux)

or dans le résultat faux qu'on a obtenu, mal écrit mais voulant dire \left(\vec{HP}.\vec{HM}\right)\times\vec{MP}.\vec{HP}

on effectue le produit scalaire \vec{HP}.\vec{HM}, nul car ces vecteurs sont orthogonaux
puis on multiple le vecteur \vec{MP} par ce nombre nul, ce qui donne un vecteur nul
et finalement on effectue le produit scalaire de ce vecteur nul et de \vec{HP}
ce produit scalaire étant bien entendu nul, le résultat est le nombre 0

ces calculs (cette méthode de calcul, la prétendue factorisation par \vec{HP}.\vec{HM}), sont donc faux puisque au lieu d'un nombre réel non nul (juste), on a obtenu 0 !
(pour chacun des termes de la somme)

dans le vrai calcul (avec Chasles) on a bien un \vec{HP}.\vec{HM} = 0 qui apparait
mais on a aussi et surtout une différence de deux nombres égaux (HP².HM²-HM².HP²) qui par conséquent s'annule

la seule méthode valable est cette décomposition de \vec{MP} par Chasles.
avant ou après développement

j'ai donc eu raison de m'insurger et d'intervenir

Posté par
Samsco
re : Barycentre 9 19-09-20 à 10:18

Donc

(\vec{HP}.\vec{HM})×\vec{MP}.\vec{HP}=((\vec{HP}.\vec{HM})×\vec{MP}).\vec{HP}\neq (\vec{HP}.\vec{HM})×(\vec{MP}.\vec{HP})

Posté par
mathafou Moderateur
re : Barycentre 9 19-09-20 à 11:25

??

tu viens d'écrire (\vec{HP}.\vec{HM})\times\vec{MP}.\vec{HP}\neq (\vec{HP}.\vec{HM})\times\(\vec{MP}.\vec{HP}) !!
(A ≠ A)

mais ce n'est pas ce qu'on veut calculer

ce qu'on tente de calculer c'est (\vec{HP}.\vec{\red HP})\times\vec{HM}.\vec{MP} et c'est différent, oui.
les parenthèses ne sont là que pour insister sur l'ordre dans lequel on effectue les opératons de (HP²\times \vec{HM}).\vec{MP},
un morceau du développement de \vec{HN}.\vec{MP} avec le morceau de \vec{HN} \; :\;  HP²\times \vec{HM} et \vec{MP} tel quel.

on écrirait tout aussi bien \vec{HP}.\vec{\red HP}\times\vec{HM}.\vec{MP}

et on ne peut pas le transformer en échangeant n'importe quel de ces 4 vecteurs avec n'importe quel autre de ces vecteurs
(de les permuter n'importe comment pour faire apparaitre le \vec{HP}.\vec{HM} qu'on souhaiterait en prenant ses désirs pour des réalités)

Posté par
Samsco
re : Barycentre 9 19-09-20 à 15:29

Ok .



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