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Barycentre associé à une fonction...
Bonjour à tous, cet exercice (partie d'exercice) me pose un gros problème, j'aurai besoin de vos lumières pour avancer...
ENONCE:
ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = a et AC =2a. I désigne le milieu de [AC] et g le barycentre du système [(A,3) ; (B, -2) ; (C, -1)].
1) A tout point M du plan, on associe le nombre réel :
h (M) = 3MA² - 2MB² - MC²
a) Démontrer qu'il existe un vecteur U non nul tel que :
h (M) = MB . U - 2a² (MB est un vecteur
b) On désigne par (delta) l'ensemble des points M du plan tels que :
h (M) = -2a²
Vérifier que les points I et B appartiennent à (delta), préciser la nature de cet ensemble. Construire (delta).
Je n'ai pas de professeur particulier, vous êtes ma seule aide, mon seul espoir de pouvoir résoudre cet exercice. En classe on a vu les fonctions avec h(x) mais la c'est h(M)??? et M est un point, je suis perdue.
Merci d'avance à tous.
Bisous
Je suis perdue, j'ai besoin d'aide... Juste une piste, je vous en prie...
Pardon c'est (C, +1) et non pas (C; -1)
Merci...
Un début de réponse, mais je suis resté bloqué (aussi la géométrie ca n'est pas mon fort)
h(M)=3MA²-2MB²-MC²=3MA.MA-2MB.MB-MC.MC
=3(MB+BA).(MB+BA)-2MB.MB-(MB+BC).(MB+BC)
Le but de cette maneuvre est de n'avoir que le vecteur MB puis des vecteurs constants.
En développant les produits scalaire, ca donne :
h(M)=3MB²+6MB.BA+3BA² -2 MB² -MB²-2MB.BC-BC²
Nous voyons que les MB² s'annulent, donc il reste :
h(M)=6MB.BA + 3BA²-2MB.BC-BC²
=MB.(6BA-2BC) +3BA²-BC²
BC²=AC²+AB²=4a²+a²=5a² d'apres le th de Pytagore (le triangle ABC est rectangle), donc :
h(M)=MB.(6BA-2BC) +3a²-5a²
h(M)=MB.(6BA-2BC)-2a²
Voila, a ce stade là je suppose que nous pouvons aller plus loin grace au barycentre, mais G est Barycentre de (A ; 3), (B ; -2) , (C;1) ce qui nous va pas.
Il nous aurait fallu C;-1 et un autre B je pense, enfin c bizzare.
Je comprends tout ce que tu as marqué et je te remercie, mais comment répondre à la question "quels sont les points M du plan tel que h(M)= - 2a² sachant que h(M)=MB.(6BA-2BC)-2a²
Merci d'avance 
Ben il faut tout simplement que tu aie MB.(6BA-2BC)=0 
Donc M est l'ensemble des points M tels que MB est orthogonal a 3BA-BC.
B est dans Delta c'est évident.
Pour montrer que I est dans Delta c'est plus dur. En fait pour répondre a cette question, j'ai rapporté le plan au repère orthonormal (O, AC/2 , AB)
Donc il faut montrer que h(I) = -2a², c'est a dire IB.(3BA-BC)=0
I(1,0)
B(0,1)
C(2,0)
Donc IB(-1,1)
BA(0, -1)
BC(2,-1)
Ainsi 3BA-BC = (-2, -2)
IB.(3BA-BC)=(-1)*(-2)+1*(-2)=2-2=0
Donc I appartient a Delta.
Pour le dessin il s'agit de la droite (BI)
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