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barycentre, demonstration
bonjour, j'ai cet exercice a faire en DM mais je n'arrive a rien je ne comprend pas les barycentres! Aidez-moi svp:
ABC est un triangle équilatéral de côté a, A' est le milieu de [BC].
I = bar A B
1 3
J= bar A C
1 3
et on me demande :
* prouver que (A'I) est orthogonale à (AB) et que (A'J) est orthogonale à (AC)
* Soit G le milieu de [IJ]; prouver que G = bar A B C
2 3 3
* prouver que G appartient à (AA')
*doit O le milieu de [AA']. prouver qu ele quadrilatère JA'IO est un losange.
MAIS surtout :
* que l est l'ensemble (E) des points M du plan tels que : (MA+3MB)*BC = 0 (en vecteur )
* prouver que, pour tout point P du plan, on : PA²+3PB²=4PI²+(3a²)/4
*et quel est l'ensemble (E') des points P du plan tels que : PA²+3PB²=BC² ?
Aidez-moi, je vais faire un infarctus ! 
Salut alexsen
pour montrer qu'ils sont orthogonaux, on va montrer que vecteur A'I.vecteur AB=0.
On a:
A'I.AB=(A'A+AI).AB=A'A.AB+AI.AB (relation de Chasles) (ici ce sont tous des vecteurs)
Or vecteur A'A.vecteur AB = -A'A² (longueur) (en utilisant la formule du produit scalaire avec les projections)
et d'apres le theoreme de Pythagore dans le triangle AA'B, tu as A'A=3/4 a²
donc vecteur A'A.vecteur AB =-3/4*a²
De meme vecteurAI.vecteurAB=3/4 AB²=3/4*a²
donc vecteurA'I.vecteurAB=0 donc ils sont orthogonaux.
Tu montres la meme chose pour (A'J) est orthogonale à (AC).
Tu as:
I = bar A B
1 3
et
J= bar A C
1 3
Comme G milieu de [IJ] alors G et le barycentre de (I,1) et (J,1) donc de (A,1+1), (B,2) et (c,2).
Euh je me suis trompé dans la derniere ligne c'est (B,3) et (c,3).
J'ai mal recopié.
* que l est l'ensemble (E) des points M du plan tels que : (MA+3MB)*BC = 0 (en vecteur )
(MI+IA+3MI+3IB).BC=0 or IA+3IB=0carI baryc de (A,1) et (B,2)
donc 4MI.BC=0
MI.BC=0 donc MI et BC orthogonaux d'ou
(E) est la droite passant par I et perpendiculaire à (BC)
Tu as G barycentre de (A,2), (B,3) et (c,3).
Or A' est le milieu de [AA'] donc G est le barycentre de (A,2) et (A',6)
d'ou G,A et A' sont alignés.
pour montrer que JA'IO est un losange tu dois montrer que vecteurIJ.vecteur OA'=0
Pour la suite tu dois utiliser la propriete fondamentale du barycentre:
Tu as:
MA+3MB=4MI
donc (MA+3MB)*BC = 0 => MI.BC=0
don l'ensemble des points M verifiant cette relation sont les points M de la droite passant par I et qui est perpendiculaire a (BC).
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