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Barycentre et distances.

Posté par
matheux14
29-07-20 à 13:09

Bonjour,

Merci d'avance.

Soit ABC un triangle équilatéral de côté 3 , C' est le milieu de [AB] et D le point défini par la relation : 4\vec{AD}=\vec{AB}+3\vec{BC} .

1-a) Démontrer que D est le barycentre du système {(A,3);(B,-2) ;(C,3)}

b) En déduire que D appartient à la médiatrice du segment [AB].

2) Démontrer que : \vec{DC'}=\dfrac{3}{2}\vec{DC}

3) Calculer DA² et DB².

Réponses

Barycentre et distances.

1-a) (En vecteurs)

4DA=AB+3BC

4AD=AD+DB+3BD+3DC

4AD-AD-DB-3BD-3DC=0

3DA-2DB+3DC=0

Donc D=bar{(A,3) ;(B,-2) ;(C,3)}

1-b) J'ai beau faire, je n'y arrive pas..

2) pareil..

3) D appartient à la médiatrice du segment [AB] et est différent du point C donc le triangle DAB est un triangle isocèle en D.

Et les triangles DC'B , DC'A et CC'B , CC'A sont rectangles en C'.

ABC étant un triangle équilatéral ,

D'après Pythagore dans le triangle CC'A   (ou CC'B).

AC²=C'A²+C'C²

9=(3/2)²+C'C²

C'C²=9-(9/4)

C'C²=27/4

C'C=(3√3)/2

Or \vec{DC'}=\dfrac{3}{2}\vec{DC}

D'où \vec{DC}=2\vec{CC'}

Donc DC=2×(3√3)/2=(6√3)/2=3√3

Du coup DC'=(3√3)/2+(3√3)=(9√3)/2

D'après Pythagore dans le triangle DC'B (ou DC'A),

C'D²+C'B²=DB²

DB²=((9√3)/2)²+9/4

DB²=63

Donc DA²=DB²=63

Posté par
malou Webmaster
re : Barycentre et distances. 29-07-20 à 13:35

Bonjour
je ne suis dispo que quelques minutes
mais
AB+3BC (en vecteurs) te donne 4AD, donc D est mal placé
b) ne serait-ce pas plutôt en déduire que D appartient à la médiatrice de [AC] ?
mais 2) beugge aussi...
il faudrait que quelqu'un qui a un peu plus de temps que je n'ai vérifie cet énoncé...

Posté par
matheux14
re : Barycentre et distances. 29-07-20 à 14:56

Oui , c'est celà ...

Citation :
Soit ABC un triangle équilatéral de côté 3 , B' est le milieu de [AC] et D le point défini par la relation : 4\vec{AD}=\vec{AB}+3\vec{BC} .

1-a) Démontrer que D est le barycentre du système {(A,3);(B,-2) ;(C,3)}

b) En déduire que D appartient à la médiatrice du segment [AC].

2) Démontrer que : \vec{BD}=\dfrac{3}{2}\vec{BB'}

3) Calculer DA² et DB².


J'ai plutôt regardé les données d'un autre exo semblable ... désolé ..

Posté par
carpediem
re : Barycentre et distances. 29-07-20 à 15:40

salut

1/ est ok

2/ indépendamment d'une éventuelles erreurs d'énoncé et avec tous les exercices que tu as fait (donc de l'expérience acquise) et un peu de réflexion :

quand on voit

Citation :
Soit ABC un triangle équilatéral de côté 3 , C' est le milieu de [AB]

1-a) Démontrer que D est le barycentre du système {(A, 3); (B, -2) ; (C, 3)}
que va-t-on immédiatement faire ?

Posté par
carpediem
re : Barycentre et distances. 29-07-20 à 15:42

en remplaçant bien sûr la première phrase en rouge par B' est le milieu du segment [AC]

Posté par
matheux14
re : Barycentre et distances. 29-07-20 à 16:19

J'avais fait une fausse figure voilà pourquoi je n'y voyait rien...

1-b) On a D={(A, 3) (B, -2) (C, 3)}

B' étant le milieu du segment [AC] ,

B'=bar{(A,3);(C,3)}

Par le barycentre partiel B'

D=bar{(B', 6) (B, -2)}

ABC étant un triangle équilatéral , (BB') est alors la médiatrice du segment [AC]

Du coup D appartient à (BB') la médiatrice du segment [AC]

Posté par
matheux14
re : Barycentre et distances. 29-07-20 à 16:28

Je coince plutôt sur la dernière question ...

Posté par
carpediem
re : Barycentre et distances. 29-07-20 à 16:36

ok ...

2/ ne pose alors plus de pb ...

3/ si tu connais je t'invite à utiliser le produit scalaire (de niveau première) autrement plus riche que le théorème de Pythagore (qui marche aussi bien sûr)

en utilisant la relation vectorielle DC = 2CC' (que tu as déjà trouvée)

Posté par
matheux14
re : Barycentre et distances. 29-07-20 à 19:20

Oui , mais je ne vois pas comment faire ..

Posté par
matheux14
re : Barycentre et distances. 29-07-20 à 19:22

Cela marcherait bien avec Pythagore ..

Comment devrais-je procéder avec les produits scalaires ?

Posté par
carpediem
re : Barycentre et distances. 29-07-20 à 20:13

DA^2 = (\vec {DB'} + \vec {B'A})^2 = ... sachant que \vec {DB'} = .... \vec {BB'}

Posté par
matheux14
re : Barycentre et distances. 30-07-20 à 10:16

Bonjour, je vois c'est encore pluy simple avec le produit scalaire..

DA²=(\vec{DB'}+\vec{B'A})²=DB'²+2\vec{DB'}.\vec{B'A}+B'A²

Or D appartient à la médiatrice de [AC] du coup DA²=DB'²+B'A².

Donc DA²=(\dfrac{1}{2}×\dfrac{3\sqrt{3}}{2})²+\dfrac{1}{4}×9

DA²=\dfrac{63}{16}

DB²=(\dfrac{3}{2}×\dfrac{3\sqrt{3}}{2})²=\dfrac{243}{16}

Posté par
carpediem
re : Barycentre et distances. 30-07-20 à 11:20

trouves-tu ces résultats cohérents ?

Posté par
matheux14
re : Barycentre et distances. 30-07-20 à 11:31

Oui , j'ai vérifié avec GeoGebra..

Merci et  bonne journée

Posté par
carpediem
re : Barycentre et distances. 30-07-20 à 12:44

que sais-tu de D ?

Posté par
matheux14
re : Barycentre et distances. 30-07-20 à 14:08

D appartient à la médiatrice du segment [AC].

Posté par
carpediem
re : Barycentre et distances. 30-07-20 à 15:22

ha oui désolé mais avec ton énoncé initial faux je me suis mélangé les pinceaux !!! avec les lettres et la médiatrice ...


Posté par
matheux14
re : Barycentre et distances. 30-07-20 à 15:43

Ah ok



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