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Barycentre et ensemble de points.

Posté par
Hiiko 21-11-10 à 14:41

Soit ABC un triangle équilatéral de côté de longueur a.
Soit l'ensemble des points M du plan tels que:
        
             ll MA-2MB+MC ll = ll MA-4MB+MC ll ( Norme de vecteurs )

a. Prouver que le point B est un point de l'ensemble

b. Démontrer que le vecteur MA-2MB+MC est indépendant du choix du point M

c. Soit G le barycentre de (A;1) (B;-4) et (C;1)
Prouver que :

                   GM= ax(3/2)
En déduire l'ensemble

Voila mon exercice jaimerai juste pour chaque question le procédé a utilisé pour pouvoir le faire seul
Merrci davance

Posté par
Hiikore : Barycentre et ensemble de points. 21-11-10 à 14:48

Pour la a , jai introduis le point B
Et je trouve 2BC=-2MB es-ce ceci ?

Posté par
Hiikore : Barycentre et ensemble de points. 21-11-10 à 15:08

Autrement dit 2MB = -2BC .. (relance post)

Posté par
pythamedere : Barycentre et ensemble de points. 21-11-10 à 15:09

Puisque 1+(-2)+1=0, l'expression \vec{MA}-2\times \vec{MB}+\vec{MC} est une constante \vec{V} qui ne dépend pas de M !

Pour t'en convaincre (si tu ne crois pas ce qui est dit dans ton cours), je te suggère de calculer la différence :

[\vec{MA}-2\times \vec{MB}+\vec{MC}]\,-\,[\vec{PA}-2\times \vec{PB}+\vec{PC}], avec M et P deux points absolument quelconques ! Tu trouveras \vec{0} !

Par conséquent, pour connaître la valeur de \vec{MA}-2\times \vec{MB}+\vec{MC} il te suffit de choisir un point M particulier, par exemple A ou B ou C.

Par ailleurs, au contraire, le barycentre G de (A;1),(B;-4),(C;1) existe puisque 1+(-4)+1 n'est pas nul.

Alors \vec{MA}-4\vec{MB}+\vec{MC}=(1-4+1) \vec{MG}

et la condition  || \vec{MA}-2\vec{MB}+\vec{MC}|| = || \vec{MA}-4\vec{MB}+\vec{MC}|| s'écrit :

||\vec{V}||=2\,||\vec{MG}||

Posté par
Hiikore : Barycentre et ensemble de points. 21-11-10 à 15:19

C'est en rapport avec la question b.

Mais je n'ai pas tout compris
Dans mon cour il est ecrit

a.MA + b.MB + c.MC  =  (a+b+c)MG soit 0 dans ce cas la

Mais en faite je ne trouve pas de parti du cour correspondant donc je ne sais pas comment conclur

Posté par
Hiikore : Barycentre et ensemble de points. 21-11-10 à 15:50

Aidez moi sil vous plait

Posté par
pythamedere : Barycentre et ensemble de points. 21-11-10 à 17:51

Citation :
a.MA + b.MB + c.MC  =  (a+b+c)MG soit 0 dans ce cas la


Non ! Dans ton cours, il est écrit SI LE BARYCENTRE EXISTE, c'est à dire SI a+b+c N'EST PAS NUL, alors :

(a\vec{MA}+b\vec{MB}+c\vec{MC}=(a+b+c)\vec{MG}

Et il est aussi écrit : SI (a+b+c)=0 ALORS IL N'Y A PAS DE BARYCENTRE ! Il n'y a pas de point G. On ne peut pas parler d'un point G qui n'existe pas !

Posté par
Hiikore : Barycentre et ensemble de points. 21-11-10 à 19:17

En effet , mais je comprend pas le rapport a lexercice

Posté par
Hiikore : Barycentre et ensemble de points. 21-11-10 à 19:30

Je suis perdu , si on pourrait maider sil vous plait

Posté par
pythamedere : Barycentre et ensemble de points. 22-11-10 à 10:29

Ce n'est pas difficile compte tenu de ce que je t'ai dit !

Citation :
a. Prouver que le point B est un point de l'ensemble \Gamma


Il s'agit de prouver que ||\vec{BA}-2\vec{BB}+\vec{BC}||=||\vec{BA}-4\vec{BB}+\vec{BC}||

Il me semble que c'est parfaitement évident !

Citation :
b. Démontrer que le vecteur MA-2MB+MC est indépendant du choix du point M


Comme je te l'ai déjà dit, il suffit de comparer :


\vec{MA}-2\vec{MB}+\vec{MC}

avec

\vec{PA}-2\vec{PB}+\vec{PC}

M et P étant deux points parfaitement quelconques,

ce qui peut se faire en en calculant la différence :

[\vec{MA}-2\vec{MB}+\vec{MC}]-[\vec{PA}-2\vec{PB}+\vec{PC}]=\vec{MA}-\vec{PA}-2[\vec{MB}-\vec{PB}]+\vec{MC}-\vec{PC}=\vec{MP}-2\vec{MP}+\vec{MP}=\vec{0}
Encore une fois, tout à fait évident (si on fait l'effort, bien sûr)

Citation :
Prouver que :

                   GM= ax(3/2)


M n'étant pas défini, je pense qu'il y a une erreur ici. Il faut prouver que GB=a(\frac{\sqrt{3}}{2})

En faisant intervenir le milieu I de AC et en appliquant le théorème d'associativité, on trouve que G est le symétrique de I par rapport à B. Comme BI est, bien sûr, comme chacun sait, égal à a(\frac{\sqrt{3}}{2}), cela répond à la question puisque GB=BI.

Citation :
En déduire l'ensemble \Gamma


G étant le barycentre de (A;1) (B;-4) et (C;1) on a bien sûr,

\vec{MA}-4\vec{MB}+\vec{MC}=(1-4+1)\vec{MG}

Par conséquent, ||\vec{MA}-4\vec{MB}+\vec{MC}||=||(1-4+1)\vec{MG}||=2||\vec{MG}||

Il en résulte que la relation ||\vec{MA}-2\vec{MB}+\vec{MC}||=||\vec{MA}-4\vec{MB}+\vec{MC}|| peut se traduire par :

||\vec{MA}-2\vec{MB}+\vec{MC}||=2||\vec{MG}||

et comme ||\vec{MA}-2\vec{MB}+\vec{MC}|| est constant, l'ensemble \Gamma est l'ensemble des points situés à une certaine distance constante de G ; c'est donc un cercle de centre G. Mais comme B appartient à \Gamma, il s'agit du cercle de centre G et de rayon GB !


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