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Barycentre et point de concours de droites.
Bonjour ,
Merci d'avance.
Soit ABC un triangle.
1) Construire les points P , Q et R tels que :
,
et
.
2) Démontrer que les droites (AR) , (BP) et (CQ) sont concourantes.
Réponses
1) J'ai placé les points P , Q et R à l'aide de la propriété de Thalès.
2) Je ne sais pas comment faire mais j'ai essayé d'écrire les points R , P et Q comme barycentres des points C et B , A et C , B et A...
CP=(3/8)CA d'où P=bar{(A,3);(C,5)}
AQ=(1/4)AB d'où Q=bar{(B,1) ;(A,3)}
BR=(5/6)BC d'où R=bar{(C,5);(B,1)}
salut
geogebra "comprend les barycentres donc pas besoin de la propriétés de Thalès :
il suffit d'écrire : P = 3A + 5C (ou P = (3A + 5C)/8 peut-être) et ton point P est "exactement" celui que tu veux ...
il est évident que les droites (AR) et (BP) sont sécantes (pourquoi ?) donc notons S leur point d'intersection ...
le pb est donc de montrer que S appartient à (CQ) en l'écrivant comme barycentre de C et Q ...
or S est barycentre des points A et R et des points B et P ...
et c'est maintenant qu'il faut "bidouiller" ... avec réflexion ...
Sinon P=bar{(A,3) ;(C,5)}
Q=bar{(B,1);(A,3)} et
R=bar{(C,5) ;(B,1)}
Soit G=bar{(A,3) ;(B,1) ;(C,5)}
*Par le barycentre partiel des points pondérés (A,3) et (C,5) ,
G=bar{(B,1);(P,8)}
Du coup G ∈ (BP).
*Par le barycentre partiel des points pondérés (C,5) et (B,1) ,
G=bar{(A,3) ; (R,6)}
Du coup G ∈ (AR).
* Par le barycentre partiel des points pondérés (B,1) et (A,3) ,
G=bar{(C,5) ;(Q,4)}
Du coup G ∈ (CQ).
*G ∈ (BP) , G ∈ (AR) et G ∈ (CQ) donc les droites (BP) , (AR) et (CQ) sont concourantes en G=bar{(A,3) ;(B,1) ;(C,5)}.
Sylvieg : effectivement c'était plus simple que je ne le pensais ...
si (AR) et (BP) ne sont pas sécantes alors soit elles sont strictement parallèles soient elles sont confondues
montre dans les deux cas que c'est absurde ...
Pour moi, il ne s'agit pas de démontrer que deux des trois droites sont concourantes.
Il s'agit de démontrer que les trois droites sont concourantes, c'est à dire qu'il y a un unique point commun aux trois droites.
On a déjà un point commun aux trois droites : le point G.
Si elles n'étaient pas concourantes, il y aurait un second point commun aux trois droites qui seraient alors confondues en une seule droite.
Tous les points de la figure seraient alignés...
Mais bon, là on cherche la petite bête.
oui mon indication n'était peut-être pas pertinente ...
j'avais dans l'idée un pb de seconde (de fort fort longtemps) où ça me semblait plus compliqué ... mais mas mémoire vacille de plus en plus ... 
et probablement qu'il n'était pas du genre d'ici ...
Ben voila
Si tu veux peaufiner, justifie que les 3 droites ne sont pas confondues.
Çà coince toujours ...
Bonjour,
@matheux14,
Un triangle est défini par trois points non alignés...
Je répète que c'est du rab, à mon avis non nécessaire.
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