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Barycentre et point de concours de droites.

Posté par
matheux14
23-07-20 à 16:00

Bonjour ,

Merci d'avance.

Soit ABC un triangle.

1) Construire les points P , Q et R tels que :

\vec{CP}=\dfrac{3}{8}\vec{CA} , \vec{AQ}=\dfrac{1}{4}\vec{AB} et \vec{BR}=\dfrac{5}{6}\vec{BC}.

2) Démontrer que les droites (AR) , (BP) et (CQ) sont concourantes.

Réponses

1) J'ai placé les points P , Q et R à l'aide de la propriété de Thalès.

Barycentre et point de concours de droites.

2) Je ne sais pas comment faire mais j'ai essayé d'écrire les points R , P et Q comme barycentres des points C et B , A et C , B et A...


CP=(3/8)CA d'où P=bar{(A,3);(C,5)}

AQ=(1/4)AB d'où Q=bar{(B,1) ;(A,3)}

BR=(5/6)BC d'où R=bar{(C,5);(B,1)}

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Barycentre et point de concours de droites. 23-07-20 à 16:13

Bonjour,
Tu ne vois pas quelques ressemblances dans les coefficients que tu as trouvés ?

Posté par
carpediem
re : Barycentre et point de concours de droites. 23-07-20 à 16:13

salut

geogebra "comprend les barycentres donc pas besoin de la propriétés de Thalès :

il suffit d'écrire : P = 3A + 5C (ou P = (3A + 5C)/8 peut-être) et ton point P est "exactement" celui que tu veux ...

il est évident que les droites (AR) et (BP) sont sécantes (pourquoi ?) donc notons S leur point d'intersection ...

le pb est donc de montrer que S appartient à (CQ) en l'écrivant comme barycentre de C et Q ...

or S est barycentre des points A et R et des points B et P ...

et c'est maintenant qu'il faut "bidouiller" ... avec réflexion ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Barycentre et point de concours de droites. 23-07-20 à 16:17

Bonjour carpediem,
Le bidouillage me semble sauter aux yeux avec ce qu'a écrit matheux14

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Barycentre et point de concours de droites. 23-07-20 à 16:20

A moins que le théorème du barycentre partiel ait disparu des radars ?

Posté par
matheux14
re : Barycentre et point de concours de droites. 23-07-20 à 16:52

Oui mais je ne sais pas pourquoi (BP) et (AR) sont sécantes ...

Posté par
matheux14
re : Barycentre et point de concours de droites. 23-07-20 à 17:24

Sinon P=bar{(A,3) ;(C,5)}

Q=bar{(B,1);(A,3)} et

R=bar{(C,5) ;(B,1)}

Soit G=bar{(A,3) ;(B,1) ;(C,5)}

*Par le barycentre partiel des points pondérés (A,3) et (C,5) ,

G=bar{(B,1);(P,8)}

Du coup G ∈ (BP).

*Par le barycentre partiel des points pondérés (C,5) et (B,1) ,

G=bar{(A,3) ; (R,6)}

Du coup G ∈ (AR).

* Par le barycentre partiel des points pondérés (B,1) et (A,3) ,

G=bar{(C,5) ;(Q,4)}

Du coup G ∈ (CQ).

*G ∈ (BP) , G ∈ (AR) et G ∈ (CQ) donc les droites (BP) , (AR) et (CQ) sont concourantes en G=bar{(A,3) ;(B,1) ;(C,5)}.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Barycentre et point de concours de droites. 23-07-20 à 18:29

Ben voila
Si tu veux peaufiner, justifie que les 3 droites ne sont pas confondues.

Posté par
matheux14
re : Barycentre et point de concours de droites. 23-07-20 à 20:33

Oui , mais je n'y arrive pas...

Posté par
carpediem
re : Barycentre et point de concours de droites. 23-07-20 à 22:01

Sylvieg : effectivement c'était plus simple que je ne le pensais ...

si (AR) et (BP) ne sont pas sécantes alors soit elles sont strictement parallèles soient elles sont confondues

montre dans les deux cas que c'est absurde ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Barycentre et point de concours de droites. 23-07-20 à 22:42

Pour moi, il ne s'agit pas de démontrer que deux des trois droites sont concourantes.
Il s'agit de démontrer que les trois droites sont concourantes, c'est à dire qu'il y a un unique point commun aux trois droites.
On a déjà un point commun aux trois droites : le point G.
Si elles n'étaient pas concourantes, il y aurait un second point commun aux trois droites qui seraient alors confondues en une seule droite.
Tous les points de la figure seraient alignés...

Mais bon, là on cherche la petite bête.

Posté par
carpediem
re : Barycentre et point de concours de droites. 23-07-20 à 22:50

oui mon indication n'était peut-être pas pertinente ...

j'avais dans l'idée un pb de seconde (de fort fort longtemps) où ça me semblait plus compliqué ... mais mas mémoire vacille de plus en plus ... et probablement qu'il n'était pas du genre d'ici ...

Posté par
matheux14
re : Barycentre et point de concours de droites. 23-07-20 à 23:14

Sylvieg @ 23-07-2020 à 18:29

Ben voila
Si tu veux peaufiner, justifie que les 3 droites ne sont pas confondues.


Çà coince toujours ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Barycentre et point de concours de droites. 24-07-20 à 07:48

Bonjour,
@matheux14,
Un triangle est défini par trois points non alignés...

Je répète que c'est du rab, à mon avis non nécessaire.

Posté par
matheux14
re : Barycentre et point de concours de droites. 24-07-20 à 08:01

Ouais , désolé ...

J'étais tellement épuisé

Merci

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Barycentre et point de concours de droites. 24-07-20 à 09:36

De rien



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