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Niveau première
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Barycentre olympique

Posté par
frdechamp
17-11-13 à 18:16

Bonjour,

J'ai trouvé dans un manuel de première de 2005, un exercice sur les barycentres, de difficulté dite "olympique", et dont la résolution me pose quelque difficulté. En voici l'énoncé.

"Soient six points cocycliques. On choisit trois points qui forment un triangle d'orthocentre H. Les trois points restants forment un triangle de centre de gravité G. Démontrer que toutes les doites (HG) passent par un point fixe indépendant du choix des trois points initiaux."

J'ai pensé à associer les triangles par paires. Si H1 et H2 sont les orthocentres des triangles formant la paire et G1 et G2 les centres de gravité correspondants, le problème revient à montrer que (H1G2) et (H2G1) concourent en un point I tel que \overrightarrow{OI} ne dépend pas du choix des trois points de départ. Il parait clair aussi qu'il faut utiliser la relation d'Euler. Enfin une figure montre que le point I en question se trouve sur OK, K étant le centre de gravité des 6 points (ie. milieu de G1G2).

Pour être complet, j'ai trouvé sur ce site un post qui mentionne une référence à un site "concurrent" ... mais la démonstration qui y est donnée est fautive.

Quelqu'un peut-il me donner un indication?

Avec mes remerciements.

Posté par
frdechamp
re : Barycentre olympique 17-11-13 à 20:36

Posté par
jeveuxbientaider
re : Barycentre olympique 17-11-13 à 21:24

Bonjour,

L'étude des barycentres est sorti du programme, en France, alors tu ne devrais pas trouver d'exercices les concernant.

Posté par
jeveuxbientaider
re : Barycentre olympique 17-11-13 à 21:27

Ton profil .... Niveau de ta question... Tu cherches quoi ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Barycentre olympique 17-11-13 à 22:01

Bonsoir,

1) il n'y a pas que des posteurs de France ici.
2) des exos "olympiques" ne sont pas tellement assujetis aux programmes "officiels".

ceci dit l'exo semble bien difficile, sans utiliser des coordonnées barycentriques et le "truc de Morley", avec les affixes des 6 points sur le cercle (unité, c'est ça le "truc de Morley"), et sans doute sans un logiciel de calcul formel, ou une longue pratique de calculs joufflus "à la main"
c'est du coup pas du tout niveau 1ère (même pas terminale)

à moins de dégotter l'astuce réservée au petits génies qui sont capables de le résoudre en 3 lignes moyennant le lemme "bien connu" qu'ils sont presque les seuls à connaitre.
bref ... pas facile (aucune idée dans l'immédiat pour ma part)

Posté par
cailloux Correcteur
re : Barycentre olympique 17-11-13 à 22:29

Bonsoir,

Je vais être beaucoup plus sévère que mathafou

Citation :
L'étude des barycentres est sorti du programme, en France, alors tu ne devrais pas trouver d'exercices les concernant.


J' ai rarement vu réponse aussi idiote. Tu aurais mieux fait de t' abstenir; c' est à pleurer

Posté par
frdechamp
re : Barycentre olympique 17-11-13 à 23:06

Pas très encourageant comme réponses .....

Selon la personne qui m'a procuré cet exercice et deux autres du même acabit, le manuel a été édité chez Belin en 2005, et semble encore avoir un certain usage (au moins comme base d'exos) dans un établissement parisien.

Je vais en effet regarder du coté des complexes et du "Morley's trick". Nonobstant, les complexes n'étaient vraisemblablement pas au programme de première en 2005.

Si quelqu'un d'autre a une idée .....

Posté par
cailloux Correcteur
re : Barycentre olympique 17-11-13 à 23:08

Soient G_1 et H_1 le centre de gravité et l' orthocentre d' un premier triangle.

G_2 et H_2 le centre de gravité et l' orthocentre du second triangle.

I=(H_1G_2)\cap (H_2G_1)

J est le milieu de [G_1G_2]

J est l' isobarycentre des 6 points de départ et est don indépendant du choix des 2 triangles.

\vec{OH_1}=3\vec{OG_1} et \vec{OH_2}=3\vec{OG_2}

Les triangles OH_1H_2 et OG_1G_2 sont dans une configuration de Thalès avec (G_1G_2)//(H_1H_2)

\dfrac{IG_2}{IH_1}=\dfrac{G_1G_2}{H_1H_2}=\dfrac{1}{3}

On a donc I barycentre de \{(H_1,1);(G_2,2)\}

J barycentre de \{(G_1,3);(G_2,3)\}

J barycentre de \{(O,2);(H_1,1);(G_2,3)\} avec l' associativité et la relation d' Euler.

J barycentre de \{(O,2);(I,4)\} par associativité du barycentre.

J barycentre de \{(O,1);(I,2)\}

donc \vec{OI}=\dfrac{3}{2}\vec{OJ}

et I est indépendant du choix des triangles.

Posté par
frdechamp
re : Barycentre olympique 17-11-13 à 23:22

Merci Cailloux,

c'est parfait. J'aurais dû en effet revenir à la "géométrie de papa". Mon point H2 était en dehors de la page et j'ai eu la flemme de refaire ma figure. Peut-être n'aurais-je pas trouvé ...

encore une fois merci.

Posté par
cailloux Correcteur
re : Barycentre olympique 17-11-13 à 23:24

De rien pour moi, frdechamp

Posté par
mathafou Moderateur
re : Barycentre olympique 17-11-13 à 23:31

Tu as été plus rapide,
j'étais arrivé à ça comme "lemme connu de personne" :
Barycentre olympique
avec des rapports quelconques et les propriétés d'un trapèze "bien connues"
si JC/JA = JD/JB = k
les points J, I et M sont alignés, M milieu de AB
et la division (J, I, M, N) est harmonique,
et comme JN/JM = k : JI/JM = 2k/(k+1)

l'application à la figure d'origine est immédiate avec k = 3 et donc
je retrouve ton point I avec OI = 3/2 OJ (avec tes noms de points).

Posté par
cailloux Correcteur
re : Barycentre olympique 17-11-13 à 23:36

Citation :
Tu as été plus rapide,


Oh, je commence à te connaître mathafou; je savais bien que tu n' allais pas lâcher l' affaire et donc que j' avais chaud aux fesses!

Posté par
frdechamp
re : Barycentre olympique 18-11-13 à 09:38

Merci aussi à Mathafou,

Ta dernière intervention m'a permis de réviser les divisions harmoniques, et de redécouvrir les propriétés des diagonales du trapèze.

Du coup, je vais revoir les propriétés du quadrilatère complet.



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