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Barycentres
Bonjour tout le monde, j'écris ce topic car je bloque dans un exercice.
On nous dit d'abord que a²-b² différent de 0, puis on nous demande de prouver que les barycentre suivants existent:
I barycentre de {(A,a);(B,b)}
J barycentre de {(A,a);(B,-b)}
Pour ça j'ai changé le a²-b² en (a+b)(a-b) ensuite on fait l'histoire des deux solutions et ça marche.
Ensuite on nous dit d'exprimer les vecteurs
et
à l'aide du vecteur
. Ça j'ai fait :
Sauf qu'après on nous demande de démontrer que K barycentre de {(A,a²);(B,-b²)} avec K milieu de [IJ]. J'ai essayé des tonnes de trucs mais je bloque vraiment, quelqu'un pour m'aider ? 
Bonsoir,
tu n'as pas exprimé AI en fonction de AB ( tout en vect).
On sait que :
aIA+bIB=0
aIA=-bIB
aIA=-b(IA+AB)
Tu arranges un peu et ça donne :
IA= [-b/(a+b)]*AB
Sauf qu'après on nous demande de démontrer que K barycentre de {(A,a²);(B,-b²)} avec K milieu de [IJ].
Donc , en vect :
KI+KJ=0 soit :
KA+AI+KA+AJ=0
Tu remplaces AI et AJ par ce que je t'ai donné.
Tu réduis au même déno, etc.
Après qq. lignes de calcul, on arrive à :
a²*KA-b²*KB=0
Rebonjour ! J'ai fait la question 3 où on devait prouver que K était le barycentre de {(A,a²);(B,-b²)}, ça a marché. Ensuite il y a la question 4, et je bloque à nouveau.
J'ai fait la figure qui était demandée :
soit A0 point du plan n'appartenant pas à (AB)
construire le point B0 de la droite (A0I) tel que les triangles IAA0 et IBB0 soient semblables
construire le point B1, symétrique de B0 par rapport à B
Ensuite on nous demande de démontrer que les droites (AB) et (A0B1) sont sécantes, et qu'elles se coupent en I. Pour prouver qu'elles sont sécantes j'ai dit qu'elles n'étaient pas parallèles parce que comme a²-b² n'est pas égal à 0, [BB1] et [AA0] qui sont parallèles ne sont pas de la même longueur.
Je suis pas sûre qu'il faille faire comme ça, mais en tout cas pour prouver qu'elles sont sécantes en J j'y arrive encore moins, je pense juste que ça a quelque chose à voir avec Thalès et la proportionnalité.
Bonsoir,
Ensuite on nous demande de démontrer que les droites (AB) et (A0B1) sont sécantes et qu'elles se coupent en I.
Je ne vois pas d'où tu sors :
j'ai dit qu'elles n'étaient pas parallèles parce que comme a²-b² n'est pas égal à 0, [BB1] et [AA0] qui sont parallèles ne sont pas de la même longueur.
Moi, je te prpose un raisonnement en parie géométrique. Tu regarderas ma figure réalisée avec :
a=2 et b=1 ce qui donne : AI=(1/3)AB et AJ=-AB (en vetc)
C'est une figure particulière car A est le milieu de [JB] , ce qui n'est pas le cas général. Tant pis, je ne recommence pas !!
Comme les 2 tri. IAA0 et IBB0 sont semblables, l'angle AA0I=IB0B.
Donc (AA0) // (B0B1) -->angles alternes-interne égaux avec la sécante (A0B0).
Thalès dans les 2 tri. IAA0 et IBB0 donne :
IA/IB=-b/a ( en vecteurs : voir mon envoi du 22 à 18 h 21.)
Les côtés de triangles semblables sont proportionnels donc :
AA0/BB0=-b/a et aussi :
AA0/B1B=-b/a
soit ;
AA0/BB1=b/a-->ligne (1).
Mais on sait que :
J barycentre de {(A,a);(B,-b)}
ce qui donne (tu as dû le dire au début déjà) :
aJA-bJB=0
aJA=bJB
soit en vect :
JA/JB=a/b-->ligne (2)
angle JAA0=angle JBB1 (alternes-internes)-->ligne (3)
Les 2 triangles JAA0 et JBB1 ont un angle égal (ligne 3) compris entre 2 côtés proportionnels ( ligne 1 et 2). Ils sont donc semblables.
Leurs 3èmes côtés sont donc proportionnels .
Donc en vecteurs :
JA0/JB1=b/a
ce qui prouve que les vect. JA0 et JB1 sont colinéaires donc que les points : J , A0 et B sont alignés.
Le temps que j'ai passé à taper ça avec les 0 et 1 en indice !!
Donc les droites (AB) et (A0B1) sont sécantes en J (et non en I).
Je ne te garantis pas qu'il n'y a pas une meilleure démonstration !!
La figure suit.
Pour l'instant je suis, mais est-ce que on peut directement dire "angle JAA0=angle JBB1 (alternes-internes)" quand on n'a pas encore prouvé que les deux droites se coupaient en J ? Merci beaucoup en tout cas.
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