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Niveau première
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Base 6

Posté par
Spea
14-02-16 à 13:24

Bonjour   Je suis actuellement une remise à niveau de maths donc je n'ai pas de niveau précis à vous indiquer. Le prof nous dit que c'est de niveau collège/début lycée avec quelques éléments ajoutés et des formulations différentes

J'ai un partiel demain donc je reprends toutes mes corrections... problème, il m'en manque une (je crois que le prof devait nous l'envoyer mais je n'ai rien) et l'exercice me semble un peu compliqué u_u

On convient que abc en base 6 est l'écriture d'un nombre en base 6. Par exemple, le nombre entier 103 s'écrit 103 (en base 6) (je ne trouve vraiment pas ce symbole... :/)

1. Quel nombre entier est représenté par 132 en base 6 . Ce nombre est-il multiple de 6? de 2?

2. Montrer que
324 en base 6
222 en base 6
550 en base 6 sont multiples de 2. Sont-ils multiples de 6?

3. Montrer que abc en base 6  est multiple de 2 si c=0 c=2 ou c=4. A quelle condition est-il multiple de 6?

4. Enoncer les théorèmes de divisibilité par 6 et par 2 à partir de l'écriture en base 6 de ce nombre.

5. a. Montrer que 325 en base 6 ; 212 en base 6 ; et 555 en base 6 sont multiples de 5.

b. Quel critère de divisibilité par 5 pourrait être énoncé? On pourra noter que 6 = 5 +1.

Je suis désolée pour la rédaction hasardeuse du au fait que je ne trouve pas le moyen de faire la petite barre au dessus des nombres. J'ai essayé de faire un copier/coller de l'exercice qui est déjà en ligne sur un pdf mais le symbole n'est pas pris en compte.

Du coup,
Je ne comprends pas la première phrase pour commencer, pourquoi 103 sécrit 251 en base 6? Peut être que savoir ceci m'éclaira pour la suite...

Merci beaucoup

Posté par
LeDino
re : Base 6 14-02-16 à 13:45

Citation :
Pourquoi 103 s'écrit 251 en base 6 ? Peut être que savoir ceci m'éclaira pour la suite...

\bar{251} = 2.6^2 + 5.6^1 + 1.6^0 = 2 * 36 + 5*6 + 1 = 72 + 30 + 1 = 103

Citation :
1. Quel nombre entier est représenté par 132 en base 6 . Ce nombre est-il multiple de 6 ? de 2 ?

\bar{132} = 1.6^2 + 3.6^1 + 2.6^0 = 1 * 36 + 3*6 + 2 = . . .

Posté par
pgeod
re : Base 6 14-02-16 à 13:56

Pourquoi 103 s'écrit 251 en base 6?

103 est un nombre donné en base 10.
Pour l'écrire abc en base 6,
il faut le décomposer en écriture décimale :
a 6² + b 61 + c 60 =   a 6² + b 6 + c
De manière pratique, pour trouver c, puis b, puis a,
on recherche les reste des divisions successives de 103 par 6 :

103 divisé par 6 ---> dividende = 17, reste 1 --> c  = 1
17 divisé par 6 ---> dividende = 2, reste 5 --> b  = 5
2 divisé par 6 --> dividende = 0, reste 2 --> a = 2

Posté par
Spea
re : Base 6 14-02-16 à 14:20

Merci

D'accord, j'ai du mal à comprendre pourquoi on fait ça exactement, mais je vais essayer d'appliquer avec 132 ^^ :

132 divisé par 6, dividende =22 et reste = 0 ; c=0
22 / 6 dividende= 3 et reste 4, b=4
3/6 dividende = 0 et reste = 3 ; a = 3

Donc le nombre entier est 340
Ce n'est pas un multiple de 6 car son multiple est un nombre décimal
C'est un multiple de 2 car il répond aux critères de divisibilité de la division du chiffre 2, il se termine par un nombre pair (0, 2 , 4, 6, ou 8)

Posté par
pgeod
re : Base 6 14-02-16 à 15:01

c'est ok pour 132 en base 6 --> 340 en base décimale

340 en base décimale est pair donc divisible par 2
340 en base décimale n'est pas  divisible par 3 (3 ne divise pas 3 + 4 + 0)
donc 340 n'est pas divisible par 6

Posté par
Spea
re : Base 6 14-02-16 à 15:15

Merci. Je pense comprendre la suite du coup, merci beaucoup !

Posté par
pgeod
re : Base 6 14-02-16 à 15:20

Posté par
LeDino
re : Base 6 14-02-16 à 16:12

Sauf erreur, vous avez fait le contraire de ce qu'il fallait faire...
Si   (132)  est écrit en base 6,  alors  (132) = 1*36 + 3*6 + 2 = 56  en base décimale.

Posté par
pgeod
re : Base 6 14-02-16 à 16:23

:) Oui, oui !!!

Posté par
LeDino
re : Base 6 14-02-16 à 16:40

Citation :
1. Quel nombre entier est représenté par 132 en base 6 .
(132) = 36 + 18 + 2 = 56

Citation :
Ce nombre est-il multiple de 6? de 2?
56 = 28*2 = 0 modulo 2, donc multiple de 2.
56 = 9*6 + 2 = 2 modulo 6,  donc non multiple de 6.

Citation :
2. Montrer que :  324 en base 6,  222 en base 6,  550 en base 6
sont multiples de 2. Sont-ils multiples de 6 ?
(324)  =  3*6²+2*6+4  =  6(18+2) + 4  =  2*3(20) + 2*2   =  0 modulo 2,   donc multiple de 2.
(222)  =  2*6²+2*6+2  =  6(12+2) + 2  =  2*3(14) + 2*1   =  0 modulo 2,   donc multiple de 2.
(550)  =  5*6²+5*6+0  =  6(30+5) + 0  =  2*3(35)   =  0 modulo 2,   donc multiple de 2.

(324)  =  3*6²+2*6+4  =  4  modulo 6,   donc non multiple de 6.
(222)  =  2*6²+2*6+2  =  2  modulo 6,   donc non multiple de 6.
(550)  =  5*6²+5*6+0  =  0  modulo 6,   donc multiple de 6.

Citation :
3. Montrer que abc en base 6  est multiple de 2 si c=0 c=2 ou c=4. A quelle condition est-il multiple de 6 ?
x = (abc) = 36a + 6b + c = c modulo 2
x = 0 modulo 2  SSI  c = 0 modulo 2  DONC  c = 0, 2 ou 4

x = (abc) = 36a + 6b + c = c modulo 6
x = 0 modulo 6  SSI  c = 0 modulo 6  DONC  c = 0

Citation :
4. Enoncer les théorèmes de divisibilité par 6 et par 2 à partir de l'écriture en base 6 de ce nombre.
Un nombre écrit en base 6 est pair s'il se termine par un chiffre pair.
Il est multiple de 6 s'il se termine par zéro.

Citation :
5. a. Montrer que 325 en base 6 ; 212 en base 6 ; et 555 en base 6 sont multiples de 5.
Faire le calcul...

Citation :
b. Quel critère de divisibilité par 5 pourrait être énoncé? On pourra noter que 6 = 5 +1.
Un nombre écrit en base 6 est divisible par 5 si la somme de ses chiffres l'est.

x  =  (abc)  =  a.6² + b.6 + c  =  a(5+1)² + b(5+1) + c = a(5² + 2*5 + 1) + 5b + b + c
x  =  (abc)  =  5(5a + 2a + 5b) + a + b + c  =  a + b + c  modulo 5

Donc   (abc) = 0 modulo 5     SSI    a+b+c = 0 modulo 5
(abc) est divisible par 6 si et seulement si la somme de ses chiffres l'est.
C'est l'équivalent de la "preuve par 9" en système décimal.

Posté par
pgeod
re : Base 6 14-02-16 à 16:48

Merci LeDino

Posté par
LeDino
re : Base 6 14-02-16 à 18:49



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