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besoin d aide très urgent pour jeudi limites et asymptotes
probleme 1:
Ds ce pb on etudie la fonction f definie sur R\{-1} par f(x)=(2xcarré+6)/(x+1)
A- ETUDE D'UNE FONCTION AUXILIAIRE
soit le fonction g definie sur r\{-1} par g(x)=(xcarré+2x-3)/(x+1)carré
1.calculer les limites de g aux bornes de son intervalle de definition.
2.dresser le tableau de variation de g.
3.a.tracer sa representation graphique.
b.discuter graphiquement suivant les valeurs du réel m, les solutions
de l'inéquation g(x)>= m
c.retrouver par le calcul les solutions de b. pr m=0
B-ETUDE DE LA FONCTION f
1.demontrer qu'il existe trois réels a, b et c tels que pour tout réel x
different de -1, f(x)= ax+b+(c/(x+1)).
2.determiner les limites de f aux bornes de son ensemble de definitions.
3.etablir l'eventuelle existence d'asymptotes à la courbe representative
Cf de f.
4.etudier le signe de f(x)-(2x-2). que peux t-on en deduire?
5. discuter suivant les valeur du réel p, le nbre de tangentes à Cf
de coefficient directeur p.
6. demontrer que le point I(-1;-4) est centre de symetrie.
Probleme 2: COURBES ASYMPTOTES
on considere la fonction f : x-> (xcube+3xcarré-4x-20)/(2(x+3))
1.quel est le domaine de definition D de f ?
2.determiner les trois réels a, b et c tels que pour tout x de D on ait : f(x)=axcarré+b+c/(x+3)
3.determiner les limites de f aux bornes de D.
4.a.Montrer que, pour tout x de D, on a :
f'(x)= ((x+1)carré(x+d))/(x+3)carré
pour une valeur de d que l'on precisera.
b.dresser le tableau de variation de f.
5.a. tracer dans un repere (O;i,j) les representations graphiques de f
et de g : x -> (xcarré/2)-2
b.etudier le signe de f(x)-g(x). en deduire les positions relatives
des courbes
c.determiener les limites en -00 et en +00 de f(x)-g(x).justifier
alors le titre du probleme.
je vous remercie enormement si vous pourriez m'aider meme quelque
peu.
G(x)=(x ^2+2x-3)/(x+1)^ 2 dg=R/-1
1)limites de g a ses bornes
* en ?00,
on applique la règles des termes de plus haut degrès puisque g(x) est
une fonction rationnel
qd x>-00,on a :
lim g(x)=lim (x^2/x^2)=1
autre méthode:
on a : (x^2+2x-3)=x^2+2x+1-1-3=(x+1)^2-4 (on a fait appparaitre une identité
remarquables)
donc g(x)=((x+1)^2-4)/(x+1)^2=1-4/(x+1)^2 après simplification
qd x>-00,
4/(x+1)^2 tend vers 4/+00=0 et donc
lim g(x)=1-0=1
*en +00
par un raisonement analogue(les 2 méthodes précédente donne :
lim g(x)=1
*en -1-,
on a (x^2+2x-3 tend vers 1^2+2(-1)-3=1-2-3=-4
(x+1)^2=(-1-+1)^2=(0+)^2=0+
donc lim g(x)=-4/0+=-00
autre méthode:
on a : (x^2+2x-3)=x^2+2x+1-1-3=(x+1)^2-4
donc g(x)=((x+1)^2-4)/(x+1)^2=1-4/(x+1)^2 après simplification
qd x>-1-,
4/(x+1)^2 tend vers 4/0+=+00 et donc
lim g(x)=1-(+00)=-00
*en ?1+,
par un raisonement analogue(les 2 méthodes précédente donne :
lim g(x)=-00
la fonction f definie sur R\{-1} par f(x)=(2xcarré+6)/(x+1)
1.demontrer qu'il existe trois réels a, b et c tels que pour tout réel x
different de -1, f(x)= ax+b+(c/(x+1)).
On f(x)=(2x^2+6)/(x+1)
Il suffit de pose de division euclidienne
2x^2 + 6 x+1
- ( 2x^2+2x ) 2x-2
-2x+6
-(-2x-2)
+2
on en déduit: (2x^2+6)=(x+1)(2x-2)+2
donc f(x)=(2x-2)+2/(x+1)
et par identification
a=2
b=-2
c=2
2.determiner les limites de f aux bornes de son ensemble de definitions.
* En ?00 ;
On vient de voir que f(x)=(2x-2)+2/(x+1)
Qd x tend vers ?00,on a :
(2x-2) tend ?00
2/(x+1) ten vers 0
donc lim f(x)=(-00)
*+00 ;
idem, on trouve lim f(x)=+00
*-1- ;
(2x-2)tend vers 0
2/(x+1) tend vers 2/(-1-+1)=2/0+=+00
et donc lim f(x)=+00
*-1+ ;
(2x-2)tend vers 0
2/(x+1) tend vers 2/(-1++1)=2/0-=-00
et donc lim f(x)=-00
3.etablir l'eventuelle existence d'asymptotes à la courbe representative
Cf de f.
les asymptote se deduit des limites
on a vu lim f(x)=+00 donc x=-1 est 1asympto de cf
-1-
de plus en +/-00,
lim f(x)=lim(2x-2+2/(x+1)) donc lim(fx-(2x-2))=lim 2/(x+1)=0
donc y=2x-2 est une 1asymptote de cf
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