jai un pb avec cet exo :
"soit f le polynome définit par f(x) =x^3 -6x² -69x +154
Le polynome admet trois racines que lon ne demande pas de calculer
Determiner la somme des inverses de ces trois racines."
merci
Erwan
un polynôme du 3 ème degré a toujours au moins une racine réelle,
on la cherche par approximations successives.
On trouve que x = 2 convient
On divise alors x³ -6x² -69x +154 par (x-2), on trouve x²-4x-77 comme
quotient.
f(x) = (x-2)(x²-4x-77)
et en factorisant x² - 4x - 77 ->
f(x) = (x-2)(x+7)(x-11)
les racines de f(x) = 0 sont donc:
x = 2; x = -7 et x = 11.
----
Somme des inverses = (1/2) - (1/7) + (1/11)
S = (77/154) - (22/154) + (14/154) = 69/154
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Sauf distraction.
Bonjour,
On peut aussi obtenir le résultat demandé en évitant de calculer les
racines de f(x)
Soient a,b,c les racines de f(x)
f(x) = (x-a)(x-b)(x-c) = x^3 -6x^2 -69x + 154
En développant le membre de gauche, on obtient:
abc = -154 a+b+c = 6 et ab +ac +cb = -69
ab+ac+cb = -69 => en divisant par abc on a
1/c + 1/b + 1/a = -69/abc
Or abc = -154
=> 1/a + 1/b + 1/c = 69/154
A+
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