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Bille d'acier dans cylindre
Bonjour à tous,
Je suis actuellement en 1ère S et ma prof de maths m'a donné un DM à rendre pour Lundi seulement voila, je suis bloqué ; l'énoncé est le suivant:
"On désire calculer le rayon R d'une bille en acier en la déposant au fond d'un récipient cylindrique de 10cm de rayon, et en y versant un volume V d'huile, jusqu'au recouvrement de la bille."
La surface de l'huile affleure alors le sommet de la bille.
La hauteur du récipient dépasse 20cm.
Quel doit être le rayon R pour que V soit égale à 2400cm3 ?
D'après les formules du volume d'un cylindre et d'une sphère je suis parvenu à l'équation:
573+R^3-150R=0 or ne sachant pas résoudre une équation au cube je l'ai résolu graphiquement en tracant une fonction cubique et la fonction 150R-573 mais ma prof ne veut pas en entendre parler et souhaite une solution par le calcule.
Quelqu'un aurait-il une idée de la méthode ? D'avance merci.
Bonjour,
Volume huile + bille = 200πR
Volume bille: (4/3)πR³
Volume d'huile: (4/3)πR³-200πR=2400
Je suis surpris que π ait disparu dans ton équation...
Volume huile+bille: 
r²h (r=10 cm et h=2R par définition)
Volume bille:
Volume huile:
D'où
Après quoi je bloque aussi.
4/3πR³-200πR-2400=0
J'ai ensuite multiplié le tout par 3:
4πR³-600πR-7200=0
J'ai divisé par 4π:
R³-150R-1800/π
R³-150R-573
Merci de ton aide je vais essayer de passer par la même si a première vu ça me parais assez compliqué...
Par contre grâce à la résolution graphique je connais déjà une valeur approchée de R qui est environ de 4.4cm
Bonjour ,
je pense que algébriquement , on ne peut trouver une solution que si on connait l'autre .
Voir animation GeoGebra http://www.geogebratube.org/student/m52216
Cordialement
Bonjour
J'ai vu hier exactement le même exercice !
on trouve R (de la bille) 9.455366
hauteur 18.91 donc volume total 5941..
5941..-2400 = 3541.. = volume de la "bille"
l'équation est 4/3 R3 =200R
par contre 9.455... est la solution
>laurelia1995
Ton évaluation de 4.4 était valable
La courbe est de forme parabolique et il y a donc
deux solutions pour la bille:
4.3798399 et 9.4553667
Pour le démontrer il faut résoudre l'équation:
R(200-4R²/3)=2400
>fm-31
La bille a un rayon R tu notes son
diamètre D=2R ;quant à la hauteur H
il s'agit du niveau de l'eau dans le cylindre
pour affleurer donc 2D
J'ai très bien vu cela . Ce que je voulais dire , c'est qu'on ne connait (d'après l'énoncé) ni la valeur de H , ni celle de D (ou de R) puisque c'est ce qui est demandé .
L'équation à résoudre reste
(4/3)πR³-200πR - 2400 = 0
Soit on la résout graphiquement , soit on connait une solution , ce qui permet de calculer la 2° car il y a effectivement deux solutions .
(4/3).Pi.R³ + 2400 = Pi.r².2R
(4/3).Pi.R³ - Pi.10².2R + 2400 = 0
(4/3).Pi.R³ - 200.Pi.R + 2400 = 0
Equation du 3eme degré dont les solutions réelles positives sont : R1 = 4,38 cm et R = 9,46 cm (arrondis)
Ces 2 rayons conviennent puisque inférieurs à h/2 (avec h la hauteur du récipient)
-----
Sauf distraction. 
Pour info.
Hors programme secondaire.
Une équation du 3eme degré peut être résolue par la méthode de Cardan.
Sans développer ici cette méthode, en voila les résultats :
Rappel succinct de la théorie permettant de résoudre n'importe quelle
équation du type .
En posant , ces équations peuvent être ramenées à la forme :
.
3 cas peuvent alors se présenter :
1)
Il y a alors une racine réelle R.
Il y a aussi 2 racines complexes conjuguées C1 et C2.
2) .
Il y a alors une racine double .
Il y a aussi une 3ème racine : .
3) .
Il y a 3 racines réelles que l'on peut trouver par une méthode
trigonométrique.
-----
(4/3).Pi.R³ - 200.Pi.R - 2400 = 0
>>> Equation du 3eme degré dont les solutions réelles positives sont : R1 = 4,38 cm et R = 9,46 cm (arrondis)
A part la résolution hors programme secondaire , comment arriver à ce résultat ? graphiquement ?
>JP
Un grand merci, j'avais oublié depuis longtemps.
Pour notre poseuse, je crois qu'elle devait trouver
une solution graphique approchée.
Pour ma part (grand amateur de tableur):
*Je pose l'équation
*je juge d'une fourchette d'observation
*j'interpole d'où mes deux résultats
>>> dpi
L'usage du tableur s'apparente à une solution graphique . Avec geogebra par exemple , il suffit d'écrire l'équation et de demander les racines .
C'était peut-être ce qui était demandé .laurelia1995 semble avoir disparu .
L'exercice est plus intéressant (en 1°) si on donne une solution , la 2° étant à trouver après une factorisation pour se retrouver avec un second degré à résoudre .
Cordialement
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