Bonjour,
Un sujet inspiré de Les ensembles.
pour x et y réels non nuls.
Quelle est l'image de *
* par f ?
C'est peut-être un classique, mais je n'ai pas la réponse.
Bonjour
J'ai tendance à croire que l'on va récupérer tous les rationnels de ]0;1] . On récupère déjà tous les 1/n en prenant x=n+1 et y=n² .
Imod
J'ai l'impression qu'on ne récupère pas certains des 1-(1/n).
Par exemple, 1-(1/5) n'est pas atteint.
Elle est bizarre cette condition :
Avec p = 5 et q = 6, on a p2 - 4q = 1 et la condition est réalisée.
Mais (5-1)/6 = 2/3 = (3-1)/3.
Or avec p = 3 et q = 3 la condition n'est pas réalisée.
Par ailleurs, il me semble que 2/3 n'est pas atteint par f.
Non, 2/3 est atteint avec 2 et 3.
J'ai traité les (p-1)/p où p est premier :
Seuls (3-1)/3 et (2-1)/2 sont atteints.
C'est à dire 2/3 et 1/2.
On a .
Posons .
J'essaie de résoudre
J'obtiens et
.
Finalement et
En faisant le changement de variable , on a l'expression que j'ai donnée: Si
alors
.
Sylvieg a raison en disant que cette condition est équivalente à , il faut réfléchir sur la parité de p. Et je n'avais pas encore eu cette réflexion
Il est tout à fait possible que certaines fractions ne soient pas atteignable dans leur version simplifiée mais bien en multipliant numérateur et dénominateur par un facteur commun.
Peut-être est-ce important de remarquer que et
.
LittleFox, tu trouves une condition suffisante mais pas nécessaire.
Le couple (2,3) donne 4/6 = 2/3 alors que (2+1)2 - 43 est négatif.
L'erreur est dans ce système qui est une condition suffisante mais pas nécessaire :
Y remplacer et
par
et
.
En fait, tu l'avais vu :
Oui, je comptais générer les fractions puis les simplifier si besoin.
En regardant les résidus quadratiques modulo 4, on voit que .
On peut écrire .
Et donc .
Donc pour chaque , on a
fractions.
Si , on peut simplifier la fraction si
ou
.
Un autre cas particulier (je n'utilise pas LateX qui est en panne) :
r = (p-2)/p = 1-(2/p) avec p premier.
Les seules valeurs de p pour lesquelles r est atteint sont 3 et 5.
1-(2/3) = f(5,6) = f(4,9)
1-(2/5) = f(2,5)
Sauf erreur possible de ma part.
Bonsoir,
j'ai l'impression que l'on ne peut atteindre aucun nombre strictement compris entre 3/4 et 1.
Effectivement :
f(1,y) = f(x,1) =1.
Si x et y différents de 1 alors x 2 et y
2.
D'où (1-1/x )(1-1/y) 1/4.
f(x,y) = 1 - (1-1/x )(1-1/y) ; donc f(x,y) 3/4.
Il y a beaucoup de fractions qui ne seront jamais atteintes:
Les premières lignes correspondent à: 1, 3/4, 2/3, 5/8, 3/5, 7/12, 4/7, 9/16, 5/9 et 11/20.
On obtient une structure fractale avec chaque asymptote correspondant à .
La première ligne correspond à x=1, les suivantes à x=2, ...
En effet, en posant x=2 et en faisant augmenter p à partir de 3, on obtient: 3/(2*2) = 3/4, 4/(2*3) = 4/6 = 2/3, 5/(2*4) = 5/8, ... jusqu'à la limite de 1/2.
Avec x = 3, on commence à 5/9 et on va jusqu'à la limite de 1/3. Comme 5/9>1/2 on a une superposition des lignes. En particulier, (x,p) = (3,6) donne 6/12 = 1/2.
En résumé:
x\p 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... infini
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1
2 3/4 2/3 5/8 3/5 7/12 4/7 9/16 ... 1/2
3 5/9 1/2 7/15 4/9 3/7 ... 1/3
4 7/16 2/5 9/24 ... 1/4
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