Bonjour

J'ai tendance à croire que l'on va récupérer tous les rationnels de ]0;1] . On récupère déjà tous les 1/n en prenant x=n+1 et y=n² .

Imod

J'ai l'impression qu'on ne récupère pas certains des 1-(1/n).
Par exemple, 1-(1/5) n'est pas atteint.

Merci beaucoup encore.

C'est l'ensemble des nombres rationels tel que

Bonsoir LittleFox,
Je ne comprends pas ta condition sur p et q.
N'est-elle pas équivalente à ?

comment LittleFox obtient-il cette condition ?

Elle est bizarre cette condition :
Avec p = 5 et q = 6, on a p² - 4q = 1 et la condition est réalisée.
Mais (5-1)/6 = 2/3 = (3-1)/3.
Or avec p = 3 et q = 3 la condition n'est pas réalisée.

Par ailleurs, il me semble que 2/3 n'est pas atteint par f.

Non, 2/3 est atteint avec 2 et 3.
J'ai traité les (p-1)/p où p est premier :
Seuls (3-1)/3 et (2-1)/2 sont atteints.
C'est à dire 2/3 et 1/2.

On a .

Posons .
J'essaie de résoudre

J'obtiens et .
Finalement et

En faisant le changement de variable , on a l'expression que j'ai donnée: Si alors .

Sylvieg a raison en disant que cette condition est équivalente à , il faut réfléchir sur la parité de p. Et je n'avais pas encore eu cette réflexion

Il est tout à fait possible que certaines fractions ne soient pas atteignable dans leur version simplifiée mais bien en multipliant numérateur et dénominateur par un facteur commun.

Peut-être est-ce important de remarquer que et .

LittleFox, tu trouves une condition suffisante mais pas nécessaire.
Le couple (2,3) donne 4/6 = 2/3 alors que (2+1)² - 43 est négatif.

L'erreur est dans ce système qui est une condition suffisante mais pas nécessaire :


Y remplacer et par et .

En fait, tu l'avais vu :

Oui, je comptais générer les fractions puis les simplifier si besoin.

En regardant les résidus quadratiques modulo 4, on voit que .

On peut écrire .

Et donc .

Donc pour chaque , on a fractions.

Si , on peut simplifier la fraction si ou .

Un autre cas particulier (je n'utilise pas LateX qui est en panne) :
r = (p-2)/p = 1-(2/p) avec p premier.
Les seules valeurs de p pour lesquelles r est atteint sont 3 et 5.
1-(2/3) = f(5,6) = f(4,9)
1-(2/5) = f(2,5)
Sauf erreur possible de ma part.

Bonsoir,
j'ai l'impression que l'on ne peut atteindre aucun nombre strictement compris entre 3/4 et 1.

Effectivement :
f(1,y) = f(x,1) =1.
Si x et y différents de 1 alors x 2 et y 2.
D'où (1-1/x )(1-1/y) 1/4.
f(x,y) = 1 - (1-1/x )(1-1/y) ; donc f(x,y) 3/4.

Il y a beaucoup de fractions qui ne seront jamais atteintes:



Les premières lignes correspondent à: 1, 3/4, 2/3, 5/8, 3/5, 7/12, 4/7, 9/16, 5/9 et 11/20.

On obtient une structure fractale avec chaque asymptote correspondant à .

La première ligne correspond à x=1, les suivantes à x=2, ...

En effet, en posant x=2 et en faisant augmenter p à partir de 3, on obtient: 3/(2*2) = 3/4, 4/(2*3) = 4/6 = 2/3, 5/(2*4) = 5/8, ... jusqu'à la limite de 1/2.

Avec x = 3, on commence à 5/9 et on va jusqu'à la limite de 1/3. Comme 5/9>1/2 on a une superposition des lignes. En particulier, (x,p) = (3,6) donne 6/12 = 1/2.

En résumé:

x\p     1       2       3       4       5       6       7       8       9       ...     infini
1       1       1       1       1       1       1       1       1       1       ...     1
2                       3/4     2/3     5/8     3/5     7/12    4/7     9/16    ...     1/2
3                                       5/9     1/2     7/15    4/9     3/7     ...     1/3
4                                                       7/16    2/5     9/24    ...     1/4

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from fractions import Fraction

from matplotlib import pyplot


def main(max_p=100, show_points=False):
    xs = []
    ys = []
    rs = []
    for p in range(1, max_p):
        p_ = p + 1
        for x in range(1, p_ // 2 + 1):
            q = x * (p_ - x)
            ys.append(p)
            xs.append(q)
            rs.append(Fraction(p, q))

    rs = sorted(set(rs), reverse=True)
    print(rs[:10])

    if show_points:
        pyplot.scatter(xs, ys, marker='.', s=0.5)
    else:
        for r in rs:
            pyplot.plot([0, max_p / r], [0, max_p], '-r', linewidth=0.2)
    pyplot.xlim([0, max_p * 3])
    pyplot.ylim([0, max_p])
    pyplot.xlabel('q')
    pyplot.ylabel('p')
    pyplot.show()


if __name__ == '__main__':
    main(show_points=True)