Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau énigmes
Partager :

C'est rationnel.

Posté par
Sylvieg Moderateur
05-07-24 à 09:39

Bonjour,
Un sujet inspiré de Les ensembles.

f(x,y) = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} - \dfrac{1}{xy} pour x et y réels non nuls.
Quelle est l'image de ** par f ?
C'est peut-être un classique, mais je n'ai pas la réponse.

Posté par
Imod
re : C'est rationnel. 05-07-24 à 11:18

Bonjour

J'ai tendance à croire que l'on va récupérer tous les rationnels de ]0;1] . On récupère déjà tous les 1/n en prenant x=n+1 et y=n² .

Imod

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : C'est rationnel. 05-07-24 à 14:07

J'ai l'impression qu'on ne récupère pas certains des 1-(1/n).
Par exemple, 1-(1/5) n'est pas atteint.

Posté par
bouchaib
re : C'est rationnel. 05-07-24 à 14:22

Merci beaucoup encore.

Posté par
LittleFox
re : C'est rationnel. 05-07-24 à 14:46

C'est l'ensemble des nombres rationels \frac{p-1}{q} tel que \frac{p - \sqrt{p²-4q}}{2} \in \N*

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : C'est rationnel. 05-07-24 à 22:09

Bonsoir LittleFox,
Je ne comprends pas ta condition sur p et q.
N'est-elle pas équivalente à \; \sqrt{p²-4q} \in \N \; ?

Posté par
carpediem
re : C'est rationnel. 06-07-24 à 14:15

comment LittleFox obtient-il cette condition ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : C'est rationnel. 06-07-24 à 19:38

Elle est bizarre cette condition :
Avec p = 5 et q = 6, on a p2 - 4q = 1 et la condition est réalisée.
Mais (5-1)/6 = 2/3 = (3-1)/3.
Or avec p = 3 et q = 3 la condition n'est pas réalisée.

Par ailleurs, il me semble que 2/3 n'est pas atteint par f.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : C'est rationnel. 06-07-24 à 21:16

Non, 2/3 est atteint avec 2 et 3.
J'ai traité les (p-1)/p où p est premier :
Seuls (3-1)/3 et (2-1)/2 sont atteints.
C'est à dire 2/3 et 1/2.

Posté par
LittleFox
re : C'est rationnel. 07-07-24 à 01:28

On a f(x,y) = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} - \frac{1}{xy} = \frac{y+x-1}{xy}.

Posons f(x,y) = \frac{p}{q}.
J'essaie de résoudre \begin{cases} x+y-1 &= p \\ xy &= q \end{cases}

J'obtiens y = p-x+1 et x(p-x+1) = q.
Finalement x²-(p+1)x+q = 0 et x = \frac{p+1 \pm \sqrt{(p+1)²-4q}}{2}

En faisant le changement de variable p'=p+1, on a l'expression que j'ai donnée: Si x = \frac{p' \pm \sqrt{p'^2-4q}}{2} alors f(x,p'-x) = \frac{p'-1}{q}.

Sylvieg a raison en disant que cette condition est équivalente à \sqrt{p'^2-4q} \in \N, il faut réfléchir sur la parité de p. Et je n'avais pas encore eu cette réflexion

Il est tout à fait possible que certaines fractions ne soient pas atteignable dans leur version simplifiée mais bien en multipliant numérateur et dénominateur par un facteur commun.

Peut-être est-ce important de remarquer que p' = x+y et q=xy.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : C'est rationnel. 07-07-24 à 07:09

LittleFox, tu trouves une condition suffisante mais pas nécessaire.
Le couple (2,3) donne 4/6 = 2/3 alors que (2+1)2 - 43 est négatif.

L'erreur est dans ce système qui est une condition suffisante mais pas nécessaire :

\begin{cases} x+y-1 &= p \\ xy &= q \end{cases}
Y remplacer p et q par kp et kq.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : C'est rationnel. 07-07-24 à 07:11

En fait, tu l'avais vu :

Citation :
Il est tout à fait possible que certaines fractions ne soient pas atteignable dans leur version simplifiée mais bien en multipliant numérateur et dénominateur par un facteur commun.

Posté par
LittleFox
re : C'est rationnel. 07-07-24 à 10:34

Oui, je comptais générer les fractions puis les simplifier si besoin.

En regardant les résidus quadratiques modulo 4, on voit que p'^2-(p'-2t)^2 \equiv 0 \pmod{4}.

On peut écrire q = \frac{p'^2 - (p'-2t)^2 }{4}= t(p'-t),  0 < 2t \le p'.

Et donc f(x,y) = \frac{p'-1}{t(p'-t)} = \frac{p'-1}{x(p'-x)} = \frac{x+y-1}{xy}.

Donc pour chaque p' \in \N, on a \lfloor \frac{p'}{2} \rfloor fractions.

Si p'-1 \equiv 0 \pmod{k}, on peut simplifier la fraction si t \equiv 0 \pmod{k} ou p'-t \equiv t+1 \equiv 0 \pmod{k}.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : C'est rationnel. 07-07-24 à 19:12

Un autre cas particulier (je n'utilise pas LateX qui est en panne) :
r = (p-2)/p = 1-(2/p) avec p premier.
Les seules valeurs de p pour lesquelles r est atteint sont 3 et 5.
1-(2/3) = f(5,6) = f(4,9)
1-(2/5) = f(2,5)
Sauf erreur possible de ma part.

Posté par
verdurin
re : C'est rationnel. 07-07-24 à 22:42

Bonsoir,
j'ai l'impression que l'on ne peut atteindre aucun nombre strictement compris entre 3/4 et 1.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : C'est rationnel. 08-07-24 à 21:38

Effectivement :
f(1,y) = f(x,1) =1.
Si x et y différents de 1 alors x 2 et y 2.
D'où (1-1/x )(1-1/y) 1/4.
f(x,y) = 1 - (1-1/x )(1-1/y) ; donc f(x,y) 3/4.

Posté par
LittleFox
re : C'est rationnel. 09-07-24 à 13:06

Il y a beaucoup de fractions qui ne seront jamais atteintes:

C\'est rationnel.

Les premières lignes correspondent à: 1, 3/4, 2/3, 5/8, 3/5, 7/12, 4/7, 9/16, 5/9 et 11/20.

On obtient une structure fractale avec chaque asymptote correspondant à \lim_{p\rightarrow \infty} \frac{p}{x(p+1-x)}=\frac{1}{x}.

La première ligne correspond à x=1, les suivantes à x=2, ...

En effet, en posant x=2 et en faisant augmenter p à partir de 3, on obtient: 3/(2*2) = 3/4, 4/(2*3) = 4/6 = 2/3, 5/(2*4) = 5/8, ... jusqu'à la limite de 1/2.

Avec x = 3, on commence à 5/9 et on va jusqu'à la limite de 1/3. Comme 5/9>1/2 on a une superposition des lignes. En particulier, (x,p) = (3,6) donne 6/12 = 1/2.

En résumé:

x\p     1       2       3       4       5       6       7       8       9       ...     infini
1       1       1       1       1       1       1       1       1       1       ...     1
2                       3/4     2/3     5/8     3/5     7/12    4/7     9/16    ...     1/2
3                                       5/9     1/2     7/15    4/9     3/7     ...     1/3
4                                                       7/16    2/5     9/24    ...     1/4


On voit que les lignes se recouvrent de plus en plus.

C\'est rationnel.

On voit que plus x est grand plus tout est mélangé.

Le code:
 Cliquez pour afficher



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !