Bonjour
AH.CH : quel est l'angle AHC ?
Sauf que le premier n'a pas de point commun et alors ?? au pire si c'est vraiment ça qui te perturbe : AH.CH = (-HA).(-HC) = HA.HC et il y a H "en commun" (la belle affaire)

AB.AH = (AH+HB).AH =AH² + HB.AH et la valeur du produit scalaire HB.AH est évidente (même question que la précédente)
AH² se calcule par Pythagore si on ne le connait pas déja par coeur (hauteur d'un triangle équilatéral)

BC.CH ces vecteurs sont colinéaires !

Bon alors voilà ce que sa donne.

HA =  3\/¯3 /2

=1/2 (-HA²+(HC)² - (-HA+HC)²)
=1/2 ( 3\/¯3/2 ² + (-3)²-9
= 27/8

(J'ai un peu abrégé) Cos^-1(27/8/9) = 68° (Environ)
--------------
1/2( 3/2²+3\/¯3/2 ²-(3/2²-3\/¯3/2) ² = 4.44
  
3\/¯3/2²+4.44 =11.19 (Ensuite je sais pas trop quoi en faire)

--------------
Pour la dernière, il suffit de prouver leur colinéarité et ensuite mettre un angle nul comme résultat ?

Désolé si j'ai fait de très grosse erreur mais pour être honnête, je suis pas très à l'aise avec l'utilisation de ces formules.

calculs en grande partie loufoques

HA = 3\/¯3 /2 oui, pour la mesure du segment [HA]

=1/2 (-HA²+(HC)² - (-HA+HC)²) $
et c'est QUOI qui est sensé être "égal" à "ça" ????
sans rien devant cela veut dire "la dernière chose dont on parlait" à savoir HA !!!

de toute façon faut pas mélanger les formules et les notions
un vecteur ce n'est pas un segment ni la mesure d'un segment
HA = 3\/¯3 /2 est la mesure du segment [HA] c'est à dire la norme du vecteur

à défaut de savoir écrire en LaTeX pour distinguer explicitement un vecteur d'une mesure
soit on dit une fois pour toute que TOUT est des vecteurs, donc, HA veut dire le vecteur
et pour parler de la mesure du segment [HA] on écrit explicitement la norme ||HA|| (le caractère | est dans tous les claviers)

et ce partout

soit on fait le contraire et on écrit explicitement les vecteurs (chacun) sous la forme vecHA ou vHA
et le reste est donc des mesures

donc que représente cette "formule" ??? c'est des vecteurs ou des mesures ???
de toute façon la suite est totalement fantaisiste.

je t'avais suggéré un calcul direct en zéro lignes et sans aucune absurdités de cosinus de va savoir quoi


ces deux vecteurs sont orthogonaux car les droites (AH) et (CH) sont perpendiculaires (la médiane d'un triangle équilatéral est en même temps hauteur etc)

donc ce produit scalaire est nul et c'est tout.
point barre

faut arrêter avec des formules qu'on récite comme un robot sans en comprendre rien du tout, ni ce que veut dire ce qu'il y a dans ces formules, ni dans quel cas on peut les utiliser, dans quel cas elles sont applicables.

et puis des angles de 68° dans un triangle équilatéral, faut vraiment pas pousser !!!
(si ça ne te choquait pas dès l'instant où tu l'as écrit et même avant de l'écrire, il faut se poser des questions ...)
et puis de toute façon ce serait quel angle ?? tu persistes à jeter des calculs en vrac sans dire ce que c'est !!!

Bon après avoir fait mes calculs.

Ca me donne :
AB.AH = 27/4
BC.CH = 9/2

C'est sa ?

AB.AH = (AH+HB).AH =AH² + HB.AH (tout en vecteurs) comme j'avais dit
mais HB et AH sont orthogonaux donc HB.AH = 0 (idem première question)
AB.AH = AH² = ||AH||² = (3/¯3 /2)² = 27/4, OK

BC.CH = 9/2 faux
BC et CH sont des vecteurs colinéaires de sens contraire

Donc se serait BC.CH = -9/2 ?

Sinon pour ce qui est de l'orthogonalité, y'a t'il besoin de faire une démonstration ou une simple justification écrite suffit ?

oui, -9/2

pour ce qui est de l'orthogonalité
c'est un théorème qui fait partie du cours
deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

les deux cas particuliers, vecteurs colinéaires et vecteurs orthogonaux, sont équivalent à l'usage de la formule :



vecteurs colinéaires :
angle = 0 (si de même sens) donc le cosinus = 1
angle = 180° (si de sens contraires) le cosinus = -1
vecteurs orthogonaux :
angle = ± 90° donc cosinus = 0

D'accord merci beaucoup !
Désolé pour ma réponse plus haut, j'avoue que je mettais un peu perdu avec toute les formules :/