Bonjour Pepit,

quelle valeur as-tu trouvé par GeoGebra ?

Amicalement,
--
Mateo.

Avais-tu trouvé 78 ?

Bonjour,
@pepit,
Ton profil indique "professeur" et tu postes niveau troisième.
Poster dans "Espace profs" serait peut-être plus approprié.

Matéo,
j'ai trouvé 78

Avec géogebra ou avec une démonstration ?

Bonjour,
J'ai trouvé le résultat avec géogebra mais je n'arrive pas à le démontrer.



*** message déplacé ***

Bonjour,
Je suis professeur et un collégien (qui veut me fatiguer) m'a donné l'énoncé tel quel.
N'ayant pas pu le résoudre, je l'ai posté niveau collège pour voir si un esprit collégien éclairé pourrait le faire.
Ensuite vous m'avez dit que je devais le faire côté prof, j'ai suivi votre conseil et je l'ai fait hier.
Je n'ai pas regardé si cela a donné quelque chose.
Cordialement

Bonjour Pepit,

je l'aurais publié dans le forum "Enigmes", car il ressemble à celles de Catriona Shearer, que l'on peut trouver facilement sur Internet.

Il semble facile de justifier les aires que j'ai mises dans la figure, sauf les deux dernières de 11,03 et 2, qui sont plus difficiles à justifier.

Je laisse SylvieG continuer, merci Pepit pour ce beau problème

Amicalement,
--
Mateo.

Bonjour,
@pepit : pour résoudre le problème, voici quelques pistes / indications (en reprenant les noms des points de Mateo_13) :

1) Le côté du carré est découpé en 6 parties égales ; on note 6x le côté du carré

2) Cela permet de déterminer la longueur AE en fonction de x et du cosinus de l'angle .

3) On exprime la tangente de cet angle "en fonction de x" qui a le bon goût de disparaître par simplification, ce qui permet de trouver la valeur du cosinus et du sinus de cet angle (en fait surtout le cosinus)

4) On remarque que le triangle EGF est semblable au triangle BAF, on peut donc calculer la longueur EG en fonction de x et du cosinus de l'angle qui est égal l'angle ; on trouve ce cosinus parce qu'on trouve sa tangente comme en 3)

5) Il n'y a plus qu'à déterminer AG puis à exprimer l'aire du triangle. Cela donne (d'où l'aire du carré par la suite)

C'est un problème que je trouve particulièrement complexe pour des élèves de collège... (même s'il n'utilise que des notions de trigo de collège, de Pythagore, et d'égalité des angles formés par des paires de droites perpendiculaires ; et encore, est-ce que la relation cos carré + sin carré = 1 est au programme du collège ?)

Bravo hdci,

pour info, Catriona Shearer s'appelle maintenant Catriona Agg, mais sa chaine twitter est la même :



Je n'y ai pas retrouvé ce problème, mais d'autres, astucieux.

Amicalement,
--
Mateo.

@pepit,
Je peux déplacer le sujet dans un autre forum.
Que préfères-tu, "énigme" dans détente ou "exercice" dans détente, ou "espace prof" ?

@hdci,
Je suis d'accord que pour un élève de collège, sans la moindre indication, ce n'est pas simple.
Ça figure peut-être dans la catégorie "défi" des exercices d'un livre scolaire.
Sinon, les cosinus dans un triangle rectangle sont au programme de 3ème ; et ça suffit pour trouver le résultat demandé.
Pas besoin des paires de droites perpendiculaires : l'angle en F commun aux deux triangles rectangles FBA et FGE suffit.

Un petit soucis avec ceci :

Si on compte les "petits traits horizontaux", cela fait 6 parties.

Effectivement, ces "traits horizontaux" peuvent également avoir pour signification que les trois tiers sont bien de longueur égale, donc que la moitié de ces tros tiers font bien 6 sixième de longueur égale ...

Oui, les "petits traits horizontaux" sont là pour montrer que le côté du carré est partagé en 3.
Ce serait mieux qu'ils soient un peu penchés
Perso, j'ai noté a = EF = BE = FC.
Et après avoir trouvé la valeur de a², j'ai calculé 9a².

Je réponds au message de 16h59 :
Je n'ai pas suivi la même démarche et n'utilise que des cosinus.
Par Pythagore, on peut calculer la longueur AF en fonction de a.
Le cosinus de l'angle en F des triangles ABF et EGF s'en déduit.

Merci pour vos réponses.
Sylvie, le problème ne m'appartient pas, vous pouvez le déplacer dans la case qui vous semble la mieux adaptée.
Cordialement

Finalement dans "Exercices".
Je pense que le sujet pourra ainsi intéresser d'autres îliens qui ne seraient pas allés le voir en 3ème.

Avez-vous pu trouver une solution avec les outils de 3ème ?

Bonsoir,
on peut trouver la réponse en utilisant uniquement le théorème de Pythagore et les formules donnant l'aire d'un triangle et d'un trapèze.
Je pose le coté du carré égale à .

L'aire de ABE est et celle de AFCD est .
L'aire de AEF est donc .

On a ensuite on en déduit car .

On calcule ensuite AE en utilisant le triangle ABE rectangle en B, puis AG en utilisant le triangle AEG rectangle en G.
Sauf erreur de ma part on a

On termine en disant que ce qui permet de déterminer .

L'aire du carré est donc

Tous les calculs, que j'espère justes, sont du niveau troisième, mais je trouve que c'est vraiment difficile pour un élève de troisième.

Bravo verdurin : Aucune trigonométrie !
Une erreur sur AG : c'est 484 au lieu de 494 ; donc 22².
Le résultat final est bien 78.

On peut se passer de l'aire d'un trapèze :
Les triangles ABE et AEF ont la même aire car hauteur AB commune et bases de même longueur.

Je n'avais pas pensé à déterminer la longueur EG en utilisant l'aire du triangle AEF.

Solution avec b = EF et un cosinus :
cos(AFB) = FB/FA et AF² = 9b² + 4b² = 13b²
D'où cos(AFB) = 2/13 .

cos(AFB) = cos(GFE) = FG/FE = FG/b . D'où FG = 2b/13 .

GE² = EF² - GF² = b² -4b²/13 = 9b²/13
D'où l'aire du triangle EGF : 3b²/13

Puis l'aire du triangle AGE en fonction de b :
Aire AEF - Aire EGF = 3b²/2 - 3b²/13 = (3/26)11b²

L'aire du triangle AGE est égale à 11 ; donc (3/26)b² = 1 .
Ce qui donne b² = 26/3 et enfin 9b² = 78 .

Bonjour,

Uniquement avec Pythagore
En considérant que le petit triangle rectangle EGF est semblable
à ABF.

j'arrive à  un coté du carré = 8.6763731 et une aire = 75.279450174
j'ai vérifié que cette aire est bien égale à 6 fois  celle du triangle ABE

Bonjour,

dpi :

j'ai vérifié que cette aire est bien égale à 6 fois celle du triangle ABE"
certes, mais l'aire de AEG est elle exactement et précisément égale à 11 (et pas "à peu près" 11) ?
non.

Si on pose X= coté du carré on a :
aire AFE = X²/6 et aire  EFG = X²/6-11
La similitude des triangles  ABF et EFG  donne  GF= 2X/313  et GE +2X/9
L'aire de EFG  est donc aussi= 4X²/2713

L'équation du second degré  X²/6-11=4X²/2713
se réduit à 913-4 x²-59413=0
racine positive X=8.676373100211
et aire du carré X²=75.279450170621

calcul faux
le rapport des aires de deux triangles semblables est le carré du rapport des côtés.

Mon erreur est de voir une similitude qui n'en est pas une.
je revois ma copie....

Donc en passant par les angles je trouve  bien 78 pour l'aire.

"les angles" ne servent qu'à justifier les triangles semblables et pour ça un seul angle égal à lui même suffit
(l'angle AFB qui est le même angle que GFE, donc les triangles rectangles ABF et FGE semblables)

En dehors des calculs adressés aux collégiens ou lycéens , il est amusant pour un enseignant de voir comment l'exercice a été construit .

Imod

Contente que le changement de rubrique provoque des interventions

Je propose ci-dessous une solution, inspirée de celle de verdurin, sans cosinus, uniquement avec Pythagore et des aires de triangles.
En posant b = EF.
Calcul de GE :
Aire AEF = 3bb/2 et Aire AEF = AFGE/2
D'où AFGE = 3b² .
AF² = 9b² + 4b² = 13b²
D'où GE = 3b/13 .

Calcul de AG :
AG² = AE² - GE² = 9b² + b² - 9b²/13 = 121b²/13

D'une part AGGE = 22.
D'autre part AGGE = (3b/13)(11b/13) = 311b²/13 .
D'où b² = 213/3.
Et le résultat : 9b² = 613 = 78

Je voulais rester sur une équation sans trigo.
Mais j'avais une erreur sur la similitude...
Le rapport entre le petit et le grand coté du triangle EGF
est 2/3 et comme l'hypoténuse= X/3
On trouve  2X/13 et 3X/13
Ce qui donne une aire de 3X²/119 -->X²/39
L'aire de  AEF est égale à X2/6 et à  11 +X²/39
l'équation cherchée  devient: 11X²-858 =0
la racine positive est égale  à 8.831760866328
et l 'aire 78

11X² = 858
X² = l'aire = 858/11 = 78

On peut s'interroger sur le côté miraculeux de la réponse entière mais il n'y a rien d'étonnant car l'exercice a été fabriqué exprès pour ce résultat .

Je fais un petit dessin sur un quadrillage orthonormé :



On calcule directement A(BDC)=6 , A(CEF)=3 et comme CEF et ADC sont semblables , A(ADC)=12/13 . On a alors A(ABC)=66/13 et l'aire du carré recherché A(carré)=36 . On a donc un rapport A(carré)/A(ABC)=78/11 et on voit pourquoi on a choisi 11 pour l'aire du triangle .

Imod

Merci Imod pour cette solution qui explique le mystère du nombre 11

Chers Imod, Dpi, Mathafou, SylvieG, Verdurin, Hdci,

je souhaite publier vos solutions de ce problème sur ma page personnelle :



mais avec vos pseudos comme signatures,
et avec le lien de la discussion sur ce forum.

En êtes-vous d'accord ?

Amicalement,
--
Mateo.

Sans m'engager pour les autres , personne ici ne revendique des droits d'auteurs et si en bonus un lien vers le site est fourni ...

C'est tout de même sympa de demander

Imod

Bonjour
ma contribution à la discussion est tout de même minime
mais je suis du même avis que Imod

Nota : sympa ton problème des 2 triangles, j'ai bien aimé

>Mateo-13
Avis favorable ...avec le temps je n'ai plus honte de mes erreurs

>mathafou

J'ai fait l'exercice des triangles équilatéraux ....amusant!

Comme il pleut des cordes,j 'ai fait "Des aires dans un carré"

 Cliquez pour afficher

on trouve  1/12;1/6;1/3;5/12

Pour le carré 678 ?

 Cliquez pour afficher

avec la formule de Héron* je trouve  10.4217492
En allant voir la solution officielle j'ai noté 10.44

en paramétrant x et en comparant x² avec  x²/2+aire 1+aire2+aire3

Bonjour,

Piqué "ailleurs", un exercice très simple susceptible de plaire à Mateo_13 :

  

ceci dit ajouter dans cette discussion des problèmes "récréatifs" différents n'est peut être pas à poursuivre :

OK pour d'autres "les aires dans un carré", c'est "dans le thème",
pas vraiment à poursuivre ici pour les problèmes sur le zigzag ou les triangles équilatéraux etc
en vertu des règles générales du forum il vaudrait mieux créer des discussions séparées pour des exos s'éloignant des problèmes d'aires dans un carré

Oui, bien sûr mathafou.
J'avais écrit :

Bonjour,
D'accord avec tous les messages depuis celui de Mateo_13 à 9h50

@Mateo_13,
Pourquoi ne pas faire figurer dans ton profil le lien vers ta page personnelle ?

Merci à tous pour votre accord, je le ferai demain.

J'ai mis ma page perso dans mon profil

Amicalement,
--
Mateo.

>Mateo_13

Merci pour  tes énigmes.
Comme tu peux le voir dans ma réponse sur le carré 678, je trouve une valeur légèrement différente :
En cherchant bien j'ai trouvé une petite erreur dans l'équation
du quatrième degré  arrivant à X=x²   853 au lieu de 784+169=953  cela se répercute dans le dernier radical  11063 au lieu de  10863 .
10.42..... est donc confirmé  comme sur la figure....