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Calcul des limites

Posté par
IdFT 17-11-17 à 18:09

Bonsoir et merci d'avance.
Exercice :
1. Démontrer que : pour tout x appartenant à : ]1,+∞[,  \frac{x - cosx}{2 + cosx} \geq \frac{x-1}{3}
En déduire ; \lim_{x\rightarrow + \infty }\frac{x - cos x}{2 + cos x}
2. En s'inspirant de la question précédente, calculer :
\lim_{x\rightarrow - \infty }\frac{x - cos x}{2 + cos x}

Posté par
Yzzre : Calcul des limites 17-11-17 à 18:11

Salut,

Tu as fait quoi ?

Posté par
IdFTre : Calcul des limites 17-11-17 à 18:14

J'ai essayer d'encadrer afin de démontrer au 1. mais sans succès

Posté par
Razesre : Calcul des limites 17-11-17 à 18:15

Bonjour,

1) Tu as \dfrac{A}{B}\geqslant \dfrac{C}{D}; Avec : B,D> 0, tu peux te débarrasser des dénominateurs puis simplifier?

Posté par
IdFTre : Calcul des limites 17-11-17 à 18:16

Comment ça?

Posté par
Razesre : Calcul des limites 17-11-17 à 18:16

Ou mettre tout d'un coté et mettre au même dénominateur.

Posté par
Yzzre : Calcul des limites 17-11-17 à 18:20

Plus simple :

cosx <= 1 donc -cosx >= -1 donc x-cosx ...

cosx <= 1 donc 2+cosx <= 3 donc ...

Posté par
IdFTre : Calcul des limites 17-11-17 à 18:20

Et montrer que le tout d'un coté est supérieur ou égal à 0?

Posté par
IdFTre : Calcul des limites 17-11-17 à 18:31

D'accord monsieur yzz je trouve :
cos x à -1 donc :
x - cos x 1 + x
cos x 1 donc 2 + cos x 3
Mais en fin j'obtient ; (x-cos x)/(2+cosx) (1+x)/3

Posté par
Yzzre : Calcul des limites 17-11-17 à 18:33

Non.

On a :  2 2 + cos x 3
Donc, en passant à l'inverse,

... 1/(2 + cos x) ...

Posté par
Yzzre : Calcul des limites 17-11-17 à 18:34

Et ceci est faux :

Citation :
cos x à -1 donc :
x - cos x 1 + x

Posté par
IdFTre : Calcul des limites 17-11-17 à 18:46

Comment donc quitter de 1/2 1/(2 + cos x) 1/3 à
(x-cos x)/(2+cosx) (x-1)/3 ?

Posté par
Priamre : Calcul des limites 17-11-17 à 18:59

1. Une idée : remplacer  cos x  par  1 - 2sin²(x/2) .

Posté par
Yzzre : Calcul des limites 17-11-17 à 19:10

Ceci est encore faux :

Citation :
1/2 1/(2 + cos x) 1/3

Posté par
IdFTre : Calcul des limites 17-11-17 à 19:16

Excusez moi monsieur Priam , mais  je ne comprend pas comment faire pour remplacer

Posté par
littleguyre : Calcul des limites 17-11-17 à 19:25

Bonjour,

> Yzz

Je n'ai pas compris ton intervention de 18:34.

Posté par
Yzzre : Calcul des limites 17-11-17 à 19:31

Salut littleguy  

En la relisant, moi non plus  

En fait, je voulais plutôt dire que c'était inutile.

Bref, reprenons (à 18:20) , mon idée était :

cosx <= 1 donc -cosx >= -1 donc x-cosx >= x-1

cosx <= 1 donc   2+cosx <= 3 donc  1/(2+cosx) >= 1/3  (car 2+cosx > 0)

Et yapuka faire le produit

Posté par
IdFTre : Calcul des limites 17-11-17 à 19:48

D'accord merci beaucoup j'obtiens ;  (x - cosx)/(2 + cosx)>=(x-1)/(1/3) partie compris.
Pour la déduction je pense que c'est + l'infini
et le 2. c'est - l'infini

Posté par
Yzzre : Calcul des limites 17-11-17 à 20:11

Oui, mais à rédiger "propre" (th de comparaison...)

Posté par
carpediemre : Calcul des limites 17-11-17 à 21:04

IdFT @ 17-11-2017 à 19:48

D'accord merci beaucoup j'obtiens ;  (x - cosx)/(2 + cosx)>=(x-1)/(1/3) partie compris.
Pour la déduction je pense que c'est + l'infini
et le 2. c'est - l'infini

certes mais il faut refaire tout le travail puisque cette fois il faut majorer !!!

Posté par
Razesre : Calcul des limites 17-11-17 à 23:20

Razes @ 17-11-2017 à 18:15

Bonjour,

1) Tu as \dfrac{A}{B}\geqslant \dfrac{C}{D}; Avec : B,D> 0, tu peux te débarrasser des dénominateurs puis simplifier?


\dfrac{x - \cos x}{2 + \cos x} \geqslant  \dfrac{x-1}{3}\Leftrightarrow\dfrac{A}{B}\geqslant \dfrac{C}{D}\Leftrightarrow AD-BC\geqslant 0\Leftrightarrow 3(x - \cos x)-(2 + \cos x)(x-1)\geq0  

\Leftrightarrow 3x - 3\cos x-2x+2-x\cos x+\cos x\geqslant 0\Leftrightarrow (x+2)(1-\cos x)\geqslant 0  VRAIE   \forall x\in ]1,+\infty[

Posté par
sam1re : Calcul des limites 18-11-17 à 04:51

IdFT @ 17-11-2017 à 19:48

D'accord merci beaucoup j'obtiens ;  (x - cosx)/(2 + cosx)>=(x-1)/(1/3) partie compris.      NON
Pour la déduction je pense que c'est + l'infini
et le 2. c'est - l'infini


Bonjour, l'idée de Razes  est simple et efficace, je te conseille de suivre ce qu'il a écrit
sinon , la fin de ta démo n'est pas correct, l'opération à faire est le produit.

ici  x>1


D\left\{ \left| \cos { x }  \right| \le 1\quad \Leftrightarrow \quad -1\le \cos { x } \le 1\quad \Leftrightarrow \quad 1\le 2+\cos { x } \le 3\quad \Leftrightarrow \quad \frac { 1 }{ 3 } { \le  }\frac { 1 }{ 2+\cos { x }  } \le 1 \right


N\left\{ \left| \cos { x }  \right| \le 1\quad \Leftrightarrow \quad 1\ge -\cos { x\ge }-1\Leftrightarrow \ -1\le -\cos { x } \le 1\quad \Leftrightarrow \ x-1\le x-\cos { x\le  } x+1 \right

      
N\times D\left\{ \frac { x-1 }{ 3 } \le \frac { x-\cos { x }}{ 2+\cos { x }} \le x+1 \right

cette écriture va te permettre d'obtenir les deux limites


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