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calcul intégral
Salut tout le monde.
Bon voilà j'ai un petit problème qui m'agace.
On pose U0=
(de 0 à 1)1/(1+x)dx et pour tout n
* Un=(de 0 à 1)x^n/(x+1)dx
1. Calculer U0 ( calcul facile par primitivation, j'ai trouvé ln(2))
2. Montrer que Un est décroissante (aucun problème dans cette question)
3. Montrer que Un<1/n, là je suis bloqué, j'ai essayé d'utiliser le theoreme de la moyenne, ainsi que comparer x^n/(x+1) avec 1/n par une récurrence puis tout intégrer, mais rien ne fonctionne.
4. Calculer lim(-1)^(n+1)Un lorsque n tend vers l'infini, là aussi je bloque, j'ai remarqué que limUn=0 donc la limite à Calculer doit aussi tendre vers 0, mais je ne suis pas si sûr.
Si c'est possible de m'éclairer. Merci à vous.
Oui j'ai essayé, mais lorsque j'inverse ça donne 1/2<1/x+1<1 puis on a x^n compris entre 0 et 1, donc en faisant le produit ça donne le résultat inférieur à 1. 1>1/n donc ce n'est pas ce qui est demandé.
autre chose :
Soit a et b deux réels tels que a<b et f une fonction continue sur l'intervalle [a;b].
Si pour tout réel x∈[a;b] on a ,
alors :
ben oui et le plus important est que
1/x+1<1 puis on a x^n compris entre 0 et 1, donc en faisant le produit avec x^n
et ensuite tu intègres !!
Bonjour,
La question 4) paraît incomplète. Comme est présenté l'exercice, on s'attend à voir venir la limite de la somme alternée des inverses.
J'ai résolu la question avec ce qu'a proposé phyelec78. Or pour la question 4, c'est posée comme je l'ai écrit..Je ne sais toujours pas comment vais je la faire. Mercii
quel dommage :
et il suffit d'intégrer cette inégalité entre 0 et 1 
d'accord avec lake : guère d'intérêt pour la question telle qu'elle est posée
il est évident que si u_n tend vers 0 alors (-1)^n u_n tend aussi vers 0 ...
Pour 4) ton intuition est bonne mais plus rigoureusement, on peut écrire :
est une suite à termes positifs qui tend vers
et :
Le théorème des gendarmes s'applique.
Pour une éventuelle suite à cette question, on peut demander de déterminer la limite suivante :
où il sera utile de prouver que :
plus généralement même : pour tout réel k si u_n --> 0 alor k u_n --> 0
et c'est vrai pour tout réel k(n) borné comme ici k(n) = (-1)^n
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