Bonsoir,

Une bonne animation  . Merci .

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134689 est le seul  en enlevant  2 ,5 et 7

Bonsoir dpi

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Je ne connais pas ta démonstration, mais sans programmation, j'ai passé un long moment
avant de résoudre cet exercice; en effet, les propriétés des carrés ne me sont plus familiers et j'ai ramé...; ça été laborieux.

Je n'ai pas programmé au sens strict...
Attendons des solutions logiques.

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1/ L'ordre des chiffres implique que le carré le plus grand serait  456789
(racine la plus proche  675 ) et le plus petit 123456 (racine la plus proche 351)
il n'y a donc que 324 racines à observer.

2/En cherchant le  carré de ces racines on élimine en décomposant ceux
qui ont un chiffre à droite<que le précédent.

bonjour dpi

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J'aime bien ton :

Citation :
que 324 racines à observer.

J'en ai trouvé beaucoup beaucoup moins.

On ne t'arrête plus
Merci ; cette dernière me plait bien aussi.

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Il faut enlever 2 , 5 et 7 . On a bien 367² = 134689 .

Méthode :
Les carrés se terminent par 6 ou 9.
123456 ne convient pas.
N = n² avec 123456 < N < 456789 ; donc 351 < n < 676 .
Le chiffre des unités de N est 9 ; donc celui de n est 3 ou 7 .
J'ai regardé (353+10k)² et (357+10k)² .
Une cinquantaine de vérifications, en entrant la fonction carré dans ma gentille TI82 d'une autre époque

Un petit oubli :

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Un carré d'entier se termine par 1, 4, 5, 6 ou 9.
Le chiffre des unités obtenu pour 123456789 en y enlevant trois chiffres est au moins 6 ; ne reste donc que 6 ou 9 .

bonjour Sylvieg

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Dans cet exercice, le carré  a pour chiffre des unités 9. (6 ne convient pas).
Mais j'ai trouvé une autre propriété pour accélérer: tout carré  qui a 9 comme chiffre des unités, a pour chiffre des dizaines un chiffre pair. De sorte qu'il se termine par 69 ou 89. Cela réduit la recherche.

D'accord.

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Il faut donc enlever 7 .
123456 < N < 345689 donne 351 < n < 588 .

Pour que le chiffre des dizaines de N soit 6 ou 8 , celui de n doit être 1, 3, 6, ou 8.
On commence donc avec 363² jusque 587², avec comme deux derniers chiffres 13, 17, 33, 37, 63, 67, 83, 87.
24 vérifications quand même...
Il y a peut-être un moyen de réduire encore qui m'a échappé.

Sylvieg

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Oui parce que avec 69, on peut éliminer 5 cas qui ne conviennent pas. Exit 69.
Reste à étudier les cas 89 ...
Bon courage

Une méthode plus courte:

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On élimine 5
On élimine 6 de 123456
les 7 des 123457 123467  123567 et 124567
Tous les autres candidats se terminent par 8 ou 9

Les carré de 6 chiffres  ne se terminant pas par 8
nous arrivons à 48 candidats se terminant  par 9
dont  28  par 89   .

bonjour dpi

J'ai moins d'essais que toi:

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1)  123 456 n'est pas un carré parfait
2) Le carré se termine par 9 et son chiffre des dizaines est pair (théorème); c'est soit 69, soit 89.
3) Si c'est 69, il n'y a que 5 cas: 1234, 1235,1245,1345 et 2345 qui associés à 69 ne donnent pas de carré parfait.
4) C'est donc 89 et sa racine carrée se terminera par 17,33,67 ou 83.
5) 456 789: non; le nombre recherché est compris entre 123 489 et 356 789 et sa racine  entre 367et 583 (correspondante au problème)).
Il y en a 10; Le premier est le bon: 367 dont le carré est 134 689; donc 6 essais et 9 en plus de vérification.
Il faut donc retirer 2,5 et 7

bonsoir,
je suis très en retard pour répondre mais je n'ai pas eu beaucoup de temps  ces jours ci

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soit N le nombre donné et N' le carré obtenu en privant N de 3 de ses chiffres x,y,z
    *on montre d'abord que le nombre se termine par 89
**  que l'on doit éliminer le 7 donc qu'il reste à trouver deux chiffres x et y  appartenant à [1,6] tels que N' soit un carré
N' carré =>N'0,1,4,5,7  (9)
donc  x+y+7N-N' (9)
soit x+y -N'-7 car N est  divisible par 9

il y a donc 5 cas à considérer
par exemple
N'4  (9)
x+y7 (9)
ce qui donne
x=1,y=6
x=2,y=5
x=3,y=4

finalement je trouve 9 couples (x,y) candidats pour la solution donc 9 vérifications à faire si je ne me suis pas trompée
merci  ming  pour tous ces problèmes intéressants

Bonjour veleda

j'apprécie ta démonstration.

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Voici mes remarques:
1) tu as éliminé 69 en 5 vérifications ou sinon, comment?
2) Pour éliminer 7, je vois  10 vérifications sinon comment?
3) Je crois qu'un carré n'est pas, modulo 9, congru à 5. Ce qui d'ailleurs ne change rien pour la suite
4) la clé de ta démonstration: -N' est congru à x+y+7. et donc 4 cas à étudier.

C'est simple mais fallait y penser!

bonsoir,
merci pour tes remarques
je t'avais déjà répondu mais mon message a été rejeté,cela m'arrive assez souvent,
j'ai déjà prévenu  mais j'ignore la cause du rejet
cela a l'air de refonctionner

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il me semble que finalement le plus simple c'est de chercher  trois entiers   x,y,z  [1,9] (x<y<z) tels que  x+y+z-N
encore merci pour cet intéressant exercice