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Carré produit scalaire

Posté par
Jam18
28-11-20 à 16:26

Bonjour à tous, j'ai un exercice qui me pose des difficultés et je vous demande votre aide.
Voici l'énoncé :

Pour créer le logo ci-contre, on part d'un carré ABCD de côté 1 à l'intérieur duquel on construit un triangle équilatéral ABI.
On partage ensuite le triangle AID en 3 triangles dont l'angle au sommet I a la même mesure, de même pour le triangle DIC et pour le triangle et pour le triangle CIB. Pour cela, on a besoin de déterminer une mesure de chacun des angles \hat{AID} et \hat{DIC}
On se place dans le repère orthonormé ( A,B,D)

1.a) Donner dans ce repère les coordonnées des points A,B,C,D
J'ai mit : A(0;0) B(1;0) C(1;1) et D(0;1)

b) On appelle J le milieu de [AB]? Calculer IJ. En déduire les coordonnées de I.
J'ai fait :
On se place dans le triangle rectangle AIJ rectangle en J on a :
JA²+JI² = IA²
JI² = IA²- JA²
JI² = 1²-0.5²
JI² = 0.75 donc JI  = \frac{\sqrt{3}}{2}
Mais ensuite comment trouver les coordonnées de I ?

c) Calculer le produit scalaire de \vec{IA}.\vec{ID}
2a) Calculer la distance ID
b)  En écrivant le produit scalaire \vec{IA}.\vec{ID} d'une autre façon, déterminer une mesure en degrés de l'angle AID.
c) En déduire une mesure en degrés de l'angle DIC.

Voilà, je vous mets la feuille :
Merci d'avance pour votre aide.

Carré produit scalaire

Posté par
hekla
re : Carré produit scalaire 28-11-20 à 16:33

Bonjour

 IJ=\dfrac{\sqrt{3}}{2} d'accord  

mais vous savez aussi que (IJ)  est la médiatrice  de [AB]

produit scalaire  pas de problème  vous avez les coordonnées des vecteurs

Posté par
Jam18
re : Carré produit scalaire 28-11-20 à 16:40

hekla

Je ne vois pas comment je peux trouver I  à l'aide de la médiatrice ?

Posté par
hekla
re : Carré produit scalaire 28-11-20 à 16:43

I a la même abscisse que J   et vous avez calculé l'ordonnée

Posté par
Jam18
re : Carré produit scalaire 28-11-20 à 16:45

hekla
Je penses avoir compris, on nous dit que le triangle est équilatéral, donc 3 cotés égaux.
Donc AI = 1
On sait que J est le milieu de AB et que la médiatrice passe par I donc I a pour cordonnées i(0.5;1)
C'est correct ?

Posté par
hekla
re : Carré produit scalaire 28-11-20 à 16:51

Non   l'abscisse de I est bien 1/2    son ordonnée ne peut être 1 car alors le point serait sur (CD)

À quoi a servi votre calcul ?

Posté par
Jam18
re : Carré produit scalaire 28-11-20 à 17:02

hekla
Ah oui, excusez moi...
i a pour coordonnés (0,5;\frac{\sqrt{3}}{2})

c)  Pour le produit scalaire j'étais partit pour le faire avec les cordonnées de vecteurs mais justement on me le demande dans les questions d'après. Je peux passer par le projecté orthogonale ? ça fait \vec{IA}.\vec{ID} = \vec{IA}.\vec{IA} = 1\times 1 = 1
C'est correct ?

Posté par
hekla
re : Carré produit scalaire 28-11-20 à 17:07

Vous calculez les coordonnées de \vec{ID} et de \vec{IA}

\vec{u}\ \dbinom{x}{y}\quad  \vec{u'}\ \dbinom{x'}{y'} \qquad \vec{u}\cdot\vec{u'}=xx'+yy'

Posté par
Jam18
re : Carré produit scalaire 28-11-20 à 17:36

hekla
Autant pour moi, I(0.5;\frac{\sqrt{3}}{2})
\vec{ID} (-0.5;\frac{2-\sqrt{3}}{2})
\vec{IA} (-0.5;-\frac{\sqrt{3}}{2}) donc
\vec{ID}.\vec{IA} = (-0.5)²+\frac{2\sqrt{3}}{2}\times (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -1.25

2a) [ID] = \sqrt{(-0.5)²+}(\frac{2-\sqrt{3}}{2})² = \frac{\sqrt{6-}\sqrt{2}}{2}

( la racine carré prend les 2 additions bien évidemment)
b) Je peux continuer ? Pour cette question je dois utiliser la formule avec le cos c'est bien ça ?





Posté par
hekla
re : Carré produit scalaire 28-11-20 à 17:40

Oui bien sûr

Posté par
hekla
re : Carré produit scalaire 28-11-20 à 17:56

Je n'ai pas ces résultats

\vec{IA}\ \dbinom{-\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}


\vec{ID}\ \dbinom{-\frac{1}{2}}{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}

\vec{ID}\cdot \vec{IA}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\dfrac{1}{4}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{3}{4}

vérifiez ID

Posté par
Jam18
re : Carré produit scalaire 28-11-20 à 19:25

hekla
Pour le vecteur \vec{IA} je suis d'accord avec vous, ensuite pour le vecteur \vec{ID}  si on fait 1-\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2-\sqrt{3}}{2} ( à la calculatrice )
donc :
\vec{IA} (-0.5;-\frac{\sqrt{3}}{2}) et \vec{ID} (-0.5;\frac{2-\sqrt{3}}{2})

On est d'accord ?

Posté par
Jam18
re : Carré produit scalaire 28-11-20 à 19:34


hekla
donc \vec{ID}.\vec{IA} = (-0.5)\times (-0.5) + (\frac{2-\sqrt{3}}{2})\times (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{2-\sqrt{3}}{2}

Posté par
Jam18
re : Carré produit scalaire 28-11-20 à 19:38

hekla
pour la question 2a) on a les coordonnées du vecteur ID donc [ID] = \sqrt{(-0.5)²+(\frac{2-\sqrt{3}}{2})²} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}

Posté par
hekla
re : Carré produit scalaire 28-11-20 à 19:48

Pour le produit scalaire  pas de problème  1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{2-\sqrt{3}}{2}

ID ^2= \dfrac{1}{4}+\left(1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 =\dfrac{1}{4}+1-\sqrt{3} +\dfrac{3}{4}=2-\sqrt{3}

 ID= \sqrt{2-\sqrt{3}}

On a bien le même résultat

Posté par
Jam18
re : Carré produit scalaire 28-11-20 à 19:55

hekla
Pour la longueur ID je ne trouves pas comme vous. J'ai vérifié mon résultat pourtant . On a le vecteur ID  ( -0.5;\frac{2-\sqrt{3}}{2})
donc :
\sqrt{(-0.5)²+(\frac{2-\sqrt{3}}{2}})² = (\sqrt{6}-\sqrt{2})/2

Posté par
hekla
re : Carré produit scalaire 28-11-20 à 20:05

Bien que ce ne soit pas une preuve  vous obtenez la même valeur à la calculatrice

Posté par
hekla
re : Carré produit scalaire 28-11-20 à 20:10

Mais on peut comparer les carrés

\left(\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\right)^2=\dfrac{6-2\sqrt{2}\sqrt{6}+2}{4}=2-\sqrt{3}

Posté par
Jam18
re : Carré produit scalaire 28-11-20 à 20:21

hekla
D'accord autant pour moi.
question b )
\vec{IA}.\vec{ID} = \vec{IA}\times \vec{ID} \times cos(\hat{AID})
\frac{2-\sqrt{3}}{2} = 1\times \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\times cos(\hat{AID})
\frac{\frac{2-\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}} = cos(\hat{AID})

arcos(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}4{} = 75
L'angle \hat{AID} = 75°



c)
Un tour complet = 360°
On a 2 angles de 75° donc 150°
Un angle de 60°
donc 360-150-60 = 150
L'angle \hat{DIC} = 150°
Je vais y ajouter un un petit schéma pour compléter la réponse.
Tout est bon ?

Posté par
Jam18
re : Carré produit scalaire 28-11-20 à 20:24

hekla @ 28-11-2020 à 20:10

Mais on peut comparer les carrés

\left(\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\right)^2=\dfrac{6-2\sqrt{2}\sqrt{6}+2}{4}=2-\sqrt{3}


Ah je comprends vous avez donnés la longueur au carré, moi j'ai donner la longueur excate avec la racine carré.

Posté par
hekla
re : Carré produit scalaire 28-11-20 à 20:40

Pour montrer que les valeurs étaient les mêmes j'ai comparé les carrés

75  oui
150 oui

Posté par
Jam18
re : Carré produit scalaire 28-11-20 à 21:03

hekla
D'accord,je penses qu'on a fini je vous remercie beaucoup de votre aide
Bonne soirée

Posté par
hekla
re : Carré produit scalaire 28-11-20 à 21:09

De rien
Bonne soirée

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