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cercle d'Apollonius

Posté par
tetras 03-12-23 à 11:58

Bonjour
pouvez vous m'aider à terminer cet exercice?
Merci
Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on considère les points A(- 2; 1) et B(2; 5) .
On cherche à déterminer le lieu L des points M distincts de B tels que

\frac{MA}{MB}=3



1)Montrer que M∈L si et seulement si (\vec{MA}-3\vec{MB})(\vec{MA}+3\vec{MB})=\vec{0}
Fait avec la 3è identité remarquable

2)Avec  deux points particuliers.
a.Quelles sont les coordonnées du point I défini par \vec{IA}-3\vec{IB}=\vec{0}?
J'ai trouvé I(4;7) et I,A et B alignés
b.Même question pour le point J défini par \vec{JA}+3\vec{JB}=\vec{0}

j'ai trouvé J(1;4)et A,J B et I sont alignés

3) En déduire que M∈L si et seulement si \vec{MI}.\vec{MJ}=\vec{0}

M∈L si et seulement si
(\vec{MA}-3\vec{MB})(\vec{MA}+3\vec{MB})=\vec{0}

(\vec{MA}-3\vec{MB})=0
M=I
cad  M(4;7)

ou (\vec{MA}+3\vec{MB})=\vec{0}

M=J cad  M(1;4)




4) Déterminer L et le construire.

je ne vois pas comment conclure vu que tous les points sont alignés je n'ai pas de cercle.
Merci

Posté par
malou Webmasterre : cercle d'Apollonius 03-12-23 à 12:01

Bonjour
Je ne fais que passer mais il y a des choses choquantes dans ton énoncé
Tu confonds 0 et \vec 0

Un produit scalaire n'est pas un vecteur nul

Posté par
tetrasre : cercle d'Apollonius 03-12-23 à 12:13

merci je corrige

En déduire que M∈L si et seulement si \vec{MI}.\vec{MJ}=0

Posté par
tetrasre : cercle d'Apollonius 03-12-23 à 12:13

Citation :
Un produit scalaire n'est pas un vecteur nul
oui c'est un réel

Posté par
malou Webmasterre : cercle d'Apollonius 03-12-23 à 13:25

Il y a d'autres produits scalaires dans ton énoncé
Je n'ai pas vérifié 1 et 2
Pour la 3 ça se gâte...tu as écrit un peu n'importe quoi
Introduis I dans la première parenthèse et J dans la 2e

Posté par
tetrasre : cercle d'Apollonius 03-12-23 à 15:12

M∈L si et seulement si

(\vec{MA}-3\vec{MB})(\vec{MA}+3\vec{MB})=0

désolé si j'écris n'importe quoi
vu que dans la question 3 il est écrit "en déduire"
je pensais qu'il fallait utiliser les résultats du 1 et raisonner comme dans le cas d'une équation produit nul

Posté par
malou Webmasterre : cercle d'Apollonius 03-12-23 à 15:41

je te signale que c'est un produit scalaire nul et pas du tout un produit nul
(\vec{MA}-3\vec{MB}).(\vec{MA}+3\vec{MB})=0

le point entre les deux parenthèses est plus qu'important

Citation :
Introduis I dans la première parenthèse et J dans la 2e

Posté par
tetrasre : cercle d'Apollonius 03-12-23 à 15:55

ok je vais faire ce que tu me dis.
Je peux quand même poser une question?
Ce produit scalaire n'est pas nul si \vec{MA}-3\vec{MB}=0?

Posté par
malou Webmasterre : cercle d'Apollonius 03-12-23 à 16:38

quand un produit scalaire est-il nul ? sais-tu répondre à cette question ?

Posté par
tetrasre : cercle d'Apollonius 03-12-23 à 16:57

oui \vec{u}.\vec{v}=0 si les vecteurs sont orthogonaux

Posté par
tetrasre : cercle d'Apollonius 03-12-23 à 17:19

en vecteur :
(MI+IA-3MI-3IB)(MJ+JA+3JB)=0

et je développe tout ça?

Posté par
malou Webmasterre : cercle d'Apollonius 03-12-23 à 18:25

tu simplifies tes \vec{MI} de la 1re parenthèse et pour \vec{IA}-3\vec{IB} tu te sers de la question précédente

même stratégie pour la 2e parenthèse
et tu n'oublies pas que c'est un produit scalaire (le point entre les deux parenthèses est obligatoire)

Posté par
tetrasre : cercle d'Apollonius 03-12-23 à 18:58

(-2MI+IA-3IB).(4MJ+JA+3JB)=\vec{0}

A la question 2 j'avais calculé les coordonnées de I et de J

Posté par
tetrasre : cercle d'Apollonius 03-12-23 à 19:05

A la question 2 j'avais calculé les coordonnées de I et de J telles que IA-3IB=JA+3JB=0
Dans ce cas on a -2MI.4MJ=0
-8MI.MJ=0
MI.MJ=0 (en vecteurs)
M appartient à une droite perpendiculaire à [IJ] mais je ne vois pas ce qui me permettrait d'être plus précis

Posté par
malou Webmasterre : cercle d'Apollonius 03-12-23 à 20:09

tetras @ 03-12-2023 à 19:05

A la question 2 j'avais calculé les coordonnées de I et de J telles que IA-3IB=JA+3JB=0
Dans ce cas on a -2MI.4MJ=0
-8MI.MJ=0
MI.MJ=0 (en vecteurs) oui
M appartient à une droite perpendiculaire à [IJ] mais je ne vois pas ce qui me permettrait d'être plus précis :sad:

malou @ 03-12-2023 à 16:38

quand un produit scalaire est-il nul ? sais-tu répondre à cette question ?

tetras @ 03-12-2023 à 16:57

oui \vec{u}.\vec{v}=0 si les vecteurs sont orthogonaux


allez !

Posté par
tetrasre : cercle d'Apollonius 04-12-23 à 10:18

MIJ est un triangle rectangle en M

Posté par
littleguyre : cercle d'Apollonius 04-12-23 à 10:45

Bonjour,

La question est "Déterminer L" ...

Posté par
tetrasre : cercle d'Apollonius 04-12-23 à 11:01

M∈L si et seulement si \vec{MI}.\vec{MJ}=0
donc ça c'est prouvé maintenant!?
avec les propriétés du triangle rectangle si N milieu de [IJ] on n'a que deux possibilités pour M .
il faut que NM1=NJ=NI
NM2=NJ=NI
la médiane issue de l'angle droit est la moitié de l'hypothénuse.
Je m'égare?

Posté par
littleguyre : cercle d'Apollonius 04-12-23 à 11:10

Oui tu t'égares.

Puisque  \vec{MI}.\vec{MJ}=0  on a  \vec{MI}  et \vec{Mj}  orthogonaux.

I et J étant fixés où peut se trouver M ?

Posté par
littleguyre : cercle d'Apollonius 04-12-23 à 11:12

Je dois partir, d'autres t'aideront...

Posté par
tetrasre : cercle d'Apollonius 04-12-23 à 11:40

L est le cercle de diamètre [JI]

Posté par
littleguyre : cercle d'Apollonius 04-12-23 à 12:37

Oui.

Et j'en profite pour saluer malou

Posté par
malou Webmasterre : cercle d'Apollonius 04-12-23 à 18:11

Merci littleguy d'avoir relayé, j'étais totalement indisponible
Bonne soirée

Posté par
tetrasre : cercle d'Apollonius 05-12-23 à 10:52

merci à vous deux


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