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Challenge n°124
Bonjour, nouvelle énigme (la dernière du mois pour ma part) :
Un jeu mathîlien ne se sépare jamais de sa table de multiplication. Mais son frêre aimant lui poser des énigmes confectionne un carton avec un trou au centre. Le cache couvre exactement 9 cases de la table de multiplication, laissant un nombre lisible en son centre. Le frêre annonce qu'une fois le cache placé la somme des 8 nombres cachés est 288. Quelle est le nombre visible au centre ?
Bonne chance à tous !
Soit n et p les numéros de lignes et de colonnes du chiffre cherché qui est donc n*p.
Si on ajoute les 4 chiffres des angles cachés par le carton , on a :
(n-1)(p-1)+(n+1)(p+1)+(n-1)(p+1)+(n+1)(p-1) = 2np+2+2np-2 = 4np
Si on ajoute les 4 chiffres des milieux des côtés cachés par le carton , on a :
n(p-1)+(n+1)p+(n-1)p+n(p+1) = 4np
La somme des 8 nombres donne donc 8np.
Ici 8np =288, donc np =36.
Comme les solutions 9*4 ou 4*9 ne conviennent pas car les cases se situent au bord (pas 8 nombres autour), la seule solution est 6*6=36.
Le nombre visible est 36, celui de la ligne 6 et de la colonne 6.
25+30+35+30+35+42+42+49 = 288
Bonjour,
Soit x le nombre horizontal.
Soit y le nombre vertical.
Le nombre recherché est donc égal à x*y.
D'après l'énoncé, on a :
[(x-1)(y-1)]+[(x-1)y]+[(x-1)(y+1)]+[x(y-1)]+[x(y+1)]+[(x+1)(y-1)]+[(x+1)y]+[(x+1)(y+1)]=288
<=> 8xy=288
<=> xy=36
Le nombre recherché est donc 36.
Sauf erreur de ma part.
:DCetman
Bonjour,
Ma réponse sur le nombre visible est 36 :
Je pose x1, le nombre multiplicateur horizontal et x2, le nombre multiplicateur vertical (les deux étant interchangeable car il y a symétrie)
On pose x1*x2, le nombre caché du carré au coin supérieur gauche. Les coordonnées du carré sont donc (x1; x1+1; x1+2) et (x2; x2+1; x2+2)
Le nombre visible est donc calculé par (x1+1) * (x2 +1).
On peut calculer les nombres cachés en fonction de leur coordonnées, et les sommer. Après distribution des produits et rassemblements des terme, on obtient l'équation :
8*x1*x2 + 8*x1 + 8*x2 + 8 = 288
En simplifiant :
x1*x2 + x1 + x2 = 35
On ajoute des conditions sur x1 et x2 pour que le carré reste dans la table de multiplication :
2 <= x <= 7 (puisque l'on doit pouvoir calculer (x1+2)*(x2+2)
En faisant varier x1 dans la plage ci-dessus, on trouve des valeurs de x2, compatibles ou non avec les conditions. Par exemple, pour x1 = 3, on obtient x2 = 8, au-delà de la plage autorisée.
Pour x1 = 5 et x2 = 5, on obtient la satisfaction du problème.
Soit un nombre au centre du carré de 6 *6 = 36
Voilà !
Bonjour,
En notant le nombre visible au centre, avec
(où
(pour éviter les bords)),
la somme des cases cachés vaut :
ou encore
.
Après simplification cette somme vaut , donc de S=288 on en déduit que
.
Or , ce qui laisse une unique solution (6,6) (les deux autres cas situés aux bords (4,9) et (9,4) sont automatiquement écartés).
Conclusion: Le nombre cherché est (obtenu comme le produit de 6 par 6).
Merci pour l'énigme.
Soit la case de coordonnées (x, y), avec 2<x,y<9 :
.
Alors la somme des huit cases extérieures vaut :
.
D'où xy=36.
Seul le couple de coordonnées (6, 6) convient donc le nombre du centre est : 36.
Si le nombre central est p*q, la somme des nombres du carré vaut 9p*q et donc la somme des nombres cachés 8p*q
Le nombre central est donc 36=6*6 (et non 4*9 ou 9*4, qui sont en bordure du tableau)
Soit a.b le nombre du centre
La somme de la 1ère colonne: (a-1).(b-1)+(a-1).b+(a-1).(b+1)=3b.(a-1)
...............2 3ab
...............3 3b(a+1)
La somme des 9 nombres: 3b.3a=9ab
La somme des 8 nombres 9ab-ab=8ab.
bonjour,
soit x,y coordonnées du centre de la cible.
on a S=(x-1)(y-1)+x(y-1)+(x+1)(y-1)+y(x-1)+xy+(x+1)y+(y+1)(x-1)+(y+1)x+(y+1)(x+1)=9xy
donc 288=9xy soit xy=32
le centre de la cible vaut donc 32
Ce nombre est 36 !
il suffit de noter p*q le produit recherché, on a alors :
(p-1)(q-1)+(p-1)q+(p-1)(q+1)+p(q-1)+p(q+1)+(p+1)(q-1)+(p+1)q+(p+1)(q+1)=288
ce qui se simplifie très rapidement en 8pq=288 soit pq=36
Appelons le nombre visible a
b avec a et b compris entre 1 et 10.
la somme des 8 nombres cachés est 288 donc d'après le tableau situé en dessous:
(a-1)(b-1)+a(b-1)+(a+1)(b-1)+(a-1)b+ab+(a+1)b+(a-1)(b+1)+a(b+1)+(a+1)(b+1)=288
Après un long développement (que je ne vais pas faire ici car il est trop long ) on obtient :
8ab=288
d'ou ab=36
Donc le nombre visible est 36
Voila
Une solution unique : le nombre au centre de la cible est "36"
Si on fait la somme des nombres cachés autour du résultat du produit de 2 nombres m et n (si on n'est pas sur un bord de la table), on obtient 8mn.
Il faut donc 8mn = 288 soit mn = 36.
Réponse : 36
Le nombre au centre est la moyenne des 8 nombres qui l'entourent.
=> = 36
bonjour je pense que c'est 36 (6*6) le nombre visible au centre mais je n'ai pas su comment démontrer
on note x le nombre qu on cherche on le definit par ses coordonnées (a,b)
ainsi:
on a la somme des autres =288
par suite:
(a-1)(b-1)+(a-1)b+(a-1)(b+1)+a(b-1)+a(b+1)+(a+1)(b-1)+(a+1)b+(a+1)(b+1)=288
par suite 8ab=288
ab=36
donc le nombre qu on cherche c 36
le nombre visible au centre est 36
en effet le carton ne peut occuper que des carrés de3*3=9 cases et on aura 3(x+1)(2+3+4)=288+3(x+1)
3(x+1)(3+4+5)=288+4(x+1) et ainsi de suite on touve x et on tire le nombre au centre
a(x+1)
salut,
on a une table de multiplication à 8 lignes et 8 colonnes, on note l et c le ligne et la colonne recherchée.
on a 1 < l < 10 et 1 < c < 10
On va maintenant calculer la somme des 8 chiffres autour de la case (l,c):
on a trois cases à la ligne (l-1) et aux colonnes c-1, c et c+1
on a deux cases à la ligne l et aux colonnes c-1 et c+1
on a trois cases à la ligne (l+1) et aux colonnes c-1, c et c+1, la somme des huit chiffres est:
(l-1)(c-1+c+c+1) + l(c-1+c+1) + (l+1)(c-1+c+c+1) =
(l-1)(3c) + l(2c) + (l+1)(3c) =
3c*2l +2lc =8lc
on cherche l et c tels que la somme soit égale à 288, on en déduit que:
lc = 36,
en utilisant la table, on voit que les seuls l et c entourés par huit chiffres sont l = c = 6.
Nombre de participations : 0
0,00 %0,00 %
0Temps de réponse moyen : 00:00:00.
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