salut,

j'obtiens 1430 solutions à ce problème, sous réserve que j'ai bien compris l'énoncé, ce qui est loin d'être sur

Enfin merci pour l'énigme

Ptitjean

Le nombre de tickets gagnants est égal à 1430, sur un total de 10! possibilités.
Soit une probabilité de gagner de 0,04% environ.

bonjour,

Il y a 1430 tickets gagnant, tous commençant par 0 et finissant par 9.
  Le plus "petit" est: 0123456789,
  le plus "grand" est: 0812345679.

@+,
gloubi

Bonjour,

le dénombrement semble assez complexe "à la main", donc j'ai choisi le DAO (dénombrement assisté par ordinateur) !

Sur les 10!=3628800 tickets, seul sont gagnants.
^{(soit environ 0,0394% donc un ticket gagnant devrait rapporter environ 2537,62€ si ils sont vendus à 1€...)}

Merci pour l'énigme.

Bonjour
1430

Bonjour,

Je trouve seulement 1430 billets gagnants.

minkus

la réponse est 1430........
ayé jsuis en week end
++

Salut
1430 tickets gagnants.
.

Je trouve qu'il y a 1430 numéros gagnants.

Bonjour

Il y a     billets gagnants.

@ plus geo3  

Bonjour !

Il y a 1430 numéros gagnants à la grande loterie de l'île.

Au plaisir.

bonjour,

un programme informatique me donne 16796 cas gagnants

1430

Bonjour,

Traitons d'abord les extrémités. Celle de gauche doit répondre impérativement à la seconde condition : il s'agit donc du nombre 0. Même raisonnement pour l'extrémité de droite : il s'agit du nombre 9. Il reste donc 8 chiffres à caser dans le ticket suivant, pour qu'il soit gagnant :
0 - - - - - - - - 9.

Les conditions sont simplifiées, puisque tous ces nombres ont un précédent et un suivant. Elles deviennent :
- « soit il strictement supérieur à tous les chiffres qui le précèdent. »
- « soit il est strictement inférieur à tous les chiffres qui le suivent. »

Commençons à fabriquer des tickets, en plaçant d'abord le chiffre 1, puis le 2, etc… jusqu'à 8.

En plaçant le chiffre 1, on a donc 1 seul ticket à 3 chiffres : 019. 1 seule solution.
Puis en plaçant le chiffre 2, on a désormais un ticket à 4 chiffres : 0129 ou 0219. 2 solutions.
En plaçant le chiffre 3, on a 5 solutions : 01239 - 01329 - 02139 - 02319 - 03129. En revanche la solution 03219 ne fonctionne pas.

En continuant cette méthode on a :
En plaçant le chiffre 1, le nombre de solution est de : 1.
En plaçant le chiffre 2, le nombre de solutions est de : 2.
En plaçant le chiffre 3, le nombre de solutions est de : 5.
En plaçant le chiffre 4, le nombre de solutions est de : 14.
En plaçant le chiffre 5, le nombre de solutions est de : 42.
En plaçant le chiffre 6, le nombre de solutions est de : 132.
En plaçant le chiffre 7, le nombre de solutions est de : 429.
En plaçant le chiffre 8, le nombre de solutions est de : 1430.

Je propose donc 1430 tickets gagnants.

Merci pour cette belle énigme.

Je dirais 1430 tickets gagnants

J'ai fait un petit graphe :
En absicsse : le nombre de nombres de la grille(dans notre cas c'est 10)
En ordonnée la probabilité d'avoir une grille gagnante.
C'est fortement décroissant.
Bilan : il vaut mieux jouer à ce jeu avec peu de nombres qu'avec beaucoup:

Bonjour,

Je trouve 1430 tickets gagnants, sur un total de 3628800 tickets (alias factorielle  10).

Cela donne tout de même une probabilité de gain bien faible... j'espère que les gains de la loterie en valent la chandelle.

J'ai trouvé 1430 tickets gagnants

Salut !

Je pense qu'il y a 1430 billets gagnants !

J'ai utilisé deux méthodes:

1) Méthode "brutale" j'ai écrit un petit programme informatique qui cherche toutes les solutions du problème, dans le cadre plus général d'un numéro de loterie à N chiffres distincts, vérifiant les propriétés de l'énoncé. La sortie du programme est la suite 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430. J'appelle U_N cette suite dans la suite de ce mail. La solution du problème est U₁₀ = 1430.

2) Ensuite, par le calcul j'ai tenté de retrouver le même résultat. Là on peut dire que j'ai noirci pas mal de papier... Vraiment pas facile. Je suis finalement arrivé à la méthode de calcul présentée dans la feuille Excel copiée ci-dessous. Petite explication : je définis U_N,I comme étant égal au nombre de billets gagnants à N chiffres, avec max(Inf)=I. Inf est défini pour tout numéro gagnant comme l'ensemble des chiffres de ce numéro vérifiant 'non(A) et B' où A et B sont les propriétés de l'énoncé :

(A) [le chiffre] est précédé par au moins un chiffre et est strictement supérieur à tous les chiffres qui le précèdent.
(B) [le chiffre] est suivi par au moins un chiffre et est strictement inférieur à tous les chiffres qui le suivent.

Par exemple pour le numéro gagnant 0314527689, on a Inf = {0, 1, 2, 6} et donc I=6. Ce numéro est comptabilisé dans U_10,6.

Il est facile de se rendre compte que pour tout N3, 0IN-3 et .

La propriété remarquable du tableau des U_N,I présenté ci-dessous est que chaque ligne se déduit en faisant les sommes cumulées de la ligne précédente. Ainsi on a :

Pour N3, 0IN-3, et .

Il y a donc une récurrence simple sur les valeurs U_N,I. Par contre démontrer cette relation de récurrence de façon rigoureuse n'est pas trivial (du moins, à mon avis) ! Je pense qu'il faut montrer que, connaissant tous les numéros gagnants à N chiffres, on peut déduire tous les numéros gagnants à N+1 chiffres par des transformations simples. Voici les tranformations auquelles je pense (pour plus de clarté, je pris N = 5):

TRANSFORMATION 1:  Ajouter "5" à la fin d'un numéro gagnant à 5 chiffres pour obtenir un numéro gagnant à 6 chiffres, tout en conservant la valeur de I.

  Exemple: 02314 (I = 1) donne par transformation 1 : 023145 (I = 1)

TRANSFORMATION 2:  A partir d'un numéro gagnant à 5 chiffres avec I donné, créer des numéros gagnants à 6 chiffres avec des valeurs de I supérieures (I+1, I+2, ...). Pour cela utiliser la tranformation Inc_n(A) qui incrémente de 1 tous les chiffres de A qui sont n.

  Exemple: 01234 (I=0) donne par transformation 2 : 023415 (=Inc₁(0123)/1/5) tel que I=1, 013425 (=Inc₂(0123)/2/5) tel que I=2 et enfin 012435 (=Inc₃(0123)/3/5) tel que I=3.

  Exemple (bis): 02314 (I=1) donne par transformation 2 : 034125 (=Inc₂(0231)/2/5)  tel que I=2 et 024135 (=Inc₃(0231)/3/5) tel que I=3.

Ces deux transformations me suffisent à écrire les 14 solutions à 6 chiffres à partir des 5 solutions à 5 chiffres, sans jamais retomber deux fois sur le même numéro à 6 chiffres. Donc je pense qu'à partir de ces deux transformations, généralisées pour tout N, il y a moyen d'écrire une démo rigoureuse !

Merci pour cette énigme très interessante, je suis impatient de voir les méthodes employées par les autres membres du forum pour la résoudre !!

A++

Il y a 725760 billets gagnants

il ay  10*9^9 possibilités, soit   3 874 204 890  tickets gagnants

beaucoup

bonjour,

Je sais, on n'a pas le droit de répondre deux fois à la même énigme, mais là....

Le ticket mentionné: 0314527689 ne risque pas d'être gagnant. En effet le chiffre 8 est
A LA FOIS précédé d'au moins un chiffre et est strictement supérieur à tous les chiffres qui le précèdent,
ET suivi d'au moins un chiffre et est strictement inférieur à tous les chiffres qui le suivent.

Pour moi, SOIT... SOIT... est un ou exclusif.
Comme la vertu d'un exemple est de clarifier un énoncé, je vois là une raison d'annuler le challenge.

Ma réponse précédente ne tenait pas compte de cette exclusion. (au vu de l'exemple).
Si on veut tenir compte de l'énoncé (mais pas du ticket 0314527689, alors la réponse correcte est: 622 (avec un ticket 0314527869 gagnant et non 0314527689)

Bon, tout çà, c'etait juste pour causer...

Sans rancune,
A+
gloubi

Je pense qu'il y a 1094 tickets gagnants soit (3^7+1)/2

Merci à tous de votre participation à cette énigme.

Bonjour,

Je m'aperçois que le taux de réussite est fort. Bravo à tous. Mais seul Torpédo (merci à lui) a donné une explication sur sa méthode.

J'aimerais bien connaître les méthodes utilisés par vous tous ! Je vous propose la mienne (qui correspond me semble-t-il à celle de Torpédo).

Le principe est de placer les chiffres 1, puis 2, puis 3 etc... les uns après les autres en commencant par la droite. (Oublions 0 et 9 qui ont déjà leur place aux extrémités). On s'aperçoit qu'un chiffre n placé à droite a toujours sa place quand les n-1 premier sont mis. Mais si on essaie de le faire remonter par la gauche, il rencontre une limite au delà de laquelle il ne peut pas aller. C'est ainsi que l'on peut dénombrer, à partir du nombre de tickets à n-1 chiffres, le nombre de tickets à n chiffres.

Exemple :
Partons du chiffre 213 : plaçons 4. Il y a une limite que 4 ne pourra pas franchir : c'est d'aller au delà du chiffre 2. Donc 2134, 2143, 2413 sont OK, mais pas 4213.

Ainsi avec le tableau suivant on arrive à dénombrer le nombre de solutions.

Je n'arrive pas à "attacher une image". Patientez !!

Voila le tableau promis

Merci de vos observations. Merci aussi à celui qui prouveras la bonne formule de la suite : 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, ...

Bonjour savoie
La suite des nombres est les nombres de Catalan
C_2nⁿ / (n+1)

Je croit que le smiley à Franz a été oublié ^^

Salut tout le monde
Pour ceux qui aiment bien la programmation je vous invite à résoudre l'énigme posté dans ce lien [url][/url]

Pardon le lien est faux
voir ce lien   somme et produit

Salut,

Merci Goupi pour l'info sur les nombres de Catalan !

Savoie, nos méthodes sont similaires en effet : d'ailleurs on retrouve les mêmes sommes partielles (les nombres que je note U_N,I) dans nos deux tableaux ! La valeur "limite" dont tu parles lorsque tu essayes de décaler vers la gauche le n-ième chiffre parmi les n-1 premiers a donc quelquechose à voir avec la valeur que j'appelle "I" dans ma solution ! Même s'il n'est pas très clair pour moi quoi exactement !

En effet, nos façons de construire les nombres solution à n+1 chiffres diffèrent j'ai l'impression. Dans l'exemple que tu donnes, à partir de 02135 tu construis 021345, 021435 et 024135 (je reprends ton exemple en rajoutant les extrémités). Donc 3 nombres, la position bloquante est la position 1.

A partir du meme nombre 02135 je construis aussi 3 nombres, j'ai I=1 (= position "limite" pour toi ?) et je construis : 021345, 031425 et 021435.

Salut,

Merci Goupi pour l'info sur les nombres de Catalan !

Savoie, nos méthodes sont similaires en effet : d'ailleurs on retrouve les mêmes sommes partielles (les nombres que je note U_N,I) dans nos deux tableaux ! La valeur "limite" dont tu parles lorsque tu essayes de décaler vers la gauche le n-ième chiffre parmi les n-1 premiers a donc quelquechose à voir avec la valeur que j'appelle "I" dans ma solution ! Même s'il n'est pas très clair pour moi quoi exactement !

En effet, nos façons de construire les nombres solution à n+1 chiffres diffèrent j'ai l'impression. Dans l'exemple que tu donnes, à partir de 02135 tu construis 021345, 021435 et 024135 (je reprends ton exemple en rajoutant les extrémités). Donc 3 nombres, la position bloquante est la position 1.

A partir du meme nombre 02135 je construis aussi 3 nombres, j'ai I=1 (= position "limite" pour toi ?) et je construis : 021345, 031425 et 021435.

Re-bonsoir,

Lire comme nombre de départ 02134 et pas 02135

A++