Combien d'entiers ?

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Combien d'entiers ?
Posté par 
flight  20-03-26 à 15:09
Bonjour , je vous propose l'exercice suivant ;

Combien existe t il d'entiers impairs compris entre  n²+2n  et 3n²+n  avec n un entier dans N  ?

Combien existe t il d'entiers premiers compris entre  n²+2n  et 3n²+n  avec n un entier dans N  ?
 Posté par 
candide2re : Combien d'entiers ?  20-03-26 à 18:10
Bonjour,

Il faudrait préciser si le "entre" inclus ou non les bornes extrêmes.

 Posté par 
dpire : Combien d'entiers ?  20-03-26 à 19:07
Bonjour,

On va dire en incluant les bornes ....

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A  nb d'impairs

si n est pair  n²-n/2

si n est impair  n²-((n-+1)/2)

B  nb de premiers

Je ne pense pas qu'il y ait une règle ...

 Posté par 
flightre : Combien d'entiers ?  20-03-26 à 19:40
Bonsoir candide2 , on va effectivement inclure les bornes 
 Posté par 
dpire : Combien d'entiers ?  21-03-26 à 08:46
Pour les premiers...

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Par définition , la répartition des premiers n'est pas définie .

A la louche je dirai nb premier 2.5n
 Posté par 
dpire : Combien d'entiers ?  21-03-26 à 10:55
Une liste ....

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 Posté par 
candide2re : Combien d'entiers ?  21-03-26 à 11:12
Bonjour,

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Pour la première question :  

"Combien existe t il d'entiers impairs compris entre  n²+2n  et 3n²+n  avec n un entier dans N  ?"

Avec les bornes incluses dans les solutions possibles, je trouve :

N = Ent((2n²-n+1)/2)   

avec Ent() pour "partie entière"

Cette réponse est vraie quelle que soit la parité de n.

**********

Pour le second problème : c'est N = 2n²-n+1 

 Posté par 
candide2re : Combien d'entiers ?  21-03-26 à 11:13
Ne pas considérer ma réponse au problème n°2 ... j'avais mal lu cette seconde question.

 Posté par 
dpire : Combien d'entiers ?  21-03-26 à 14:57
>candide2

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Je viens de regarder ta réponse qui confirme la mienne .

Il m'étonnait qu'une formule s'applique aux nombres premiers 
 Posté par 
dpire : Combien d'entiers ?  22-03-26 à 09:04
Même si la question des premiers n'est pas formulable,j'ai laissé mon

bidule calculer jusqu'à 500

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 Posté par 
verdurinre : Combien d'entiers ?  22-03-26 à 19:53
Bonsoir,

la réponse à la seconde question est évidente :

on note (n) le nombre de premier strictement inférieur à n.

Et la réponse est (3n2+n)-(n2+2n).
 Posté par 
dpire : Combien d'entiers ?  23-03-26 à 08:24
Bonjour,

>verdurin

Je n'ai pas compris donc prenons un exemple

n=10 --->3n²+n=310 et n²+2n=120 donc  190 entiers  dont 33 premiers  ,je ne retrouve pas ta formule ...
 Posté par 
dpire : Combien d'entiers ?  23-03-26 à 08:32
Au fait ,j'avais promis n=500

il y a dans ce cas 38156 premiers 
 Posté par 
candide2re : Combien d'entiers ?  23-03-26 à 10:32
dpi @ 23-03-2026 à 08:24

Bonjour,

>verdurin

Je n'ai pas compris donc prenons un exemple

n=10 --->3n²+n=310 et n²+2n=120 donc  190 entiers  dont 33 premiers  ,je ne retrouve pas ta formule ...

Bonjour,

Il n'y a rien à comprendre. La fonction spéciale  est une fonction donne le nombre d'entiers inférieurs ou égal à n.

Mais comme il n'existe pas de table ou autres documents donnant la valeurs de  pour tout n (évidemment), on ne peut rien calculer avec exactitude.

On peut dire que si n est grand; on a  , mais c'est une grossière approximation.

Par exemple, dans le cas de l'exercice, n = 100 correspond aux bornes  10200 et 30100, donc on calcule Pi(30100) = 30100/ln(30100) = 2919 et Pi(10200) = 10200/ln(10200) = 1105 et donc le nombre d'entiers entre les bornes est d'environ  :  2915-1105 = 1810 ...

Alors que le vrai nombre est 2002.

Mais avec des nombres plus grands, c'est moins faux.

Pour n (de l'énoncé) = 500, les bornes sont 251000 et 750500, on estime donc : n =  750500/ln(750500) - 251000/ln(251000) = environ : 35288 ... pas très loin (tout est relatif) de ton 38156.

 Posté par 
flightre : Combien d'entiers ?  23-03-26 à 11:28
Bonjour , merci pour vos interventions et vos résultats à tous  
  Posté par 
dpire : Combien d'entiers ?  23-03-26 à 15:03
Dans la formule de verdurin c'est  qui m'intriguait ainsi que n  qui pour moi était le n de départ

La formule avec  ln  et l'explication de candide2  suffisent.

A noter que  J.B.Rosser a "amélioré"  la formule en 1938.

Pour ma part ,j'aime bien aller chercher le nombre exact .