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Combinatoire Olympiade

Posté par
ouma2said64
06-05-18 à 13:37

Bonjour,
J'ai là un exercice de combinatoire qui a été proposé aux olympiades nationnales marocaine.

De combien de façons peut on colorier les cellules C1, C2, ... C8 du tableau ci-dessous par trois couleurs: bleu, rouge et vert, sachant que deux cellules adjacentes quelconques(horizontalement ou verticalement) ne soient pas de la même couleur.

J'ai tenter de travailler avec le principe du produit mais je doute que ce ne soit la bonne réponse. J'ai obtenu 384 manière d'arranger le tableaux. Est ce faux?

Combinatoire Olympiade

Posté par
carpediem
re : Combinatoire Olympiade 06-05-18 à 13:49

salut

sans nous dire comment tu obtiens ce 384 ... difficile de te répondre ...

Posté par
bbomaths
re : Combinatoire Olympiade 06-05-18 à 14:50

Bonjour.

216 cas sauf erreur de ma part et de mon PC

Posté par
ouma2said64
re : Combinatoire Olympiade 06-05-18 à 15:59

carpediem @ 06-05-2018 à 13:49

salut

sans nous dire comment tu obtiens ce 384 ... difficile de te répondre ...


Pour le C1 on a 3 possibilités vu qu'on peut mettre n'importe quelle couleur.
C2 on a deux choix car cette case ne doit pas avoir la même couleur que C[/sub]
C[sub]3
on a deux choix
C4 deux choix
C5 deux choix car elle ne doit pas avoir la même couleur que C2
C6 C'est là où j'ai un petit doute car on pourrait avoir la même couleur dans C5 et C3 et donc on aurait deux choix( c'est d'ailleur ce que j'ai préféré faire) mais il y a aussi la possibilité que C5 et C3 aient des couleurs differente et là on n'aurait plus qu'un choix.
C7 même chose 2 choix
C8 2 choix
j'ai donc effectué le produit du nombre de choix de chaque case: 3*2*2*2*2*2*2*2=384
Qu'en pensez vous?
bbomaths @ 06-05-2018 à 14:50

Bonjour.

216 cas sauf erreur de ma part et de mon PC

Peux-tu m'expliquer comment est ce que tu est parvenu à ce résultat?

Merci pour vos réponses.

Posté par
carpediem
re : Combinatoire Olympiade 06-05-18 à 16:52

pour c1 et c2 ok : 3 * 2 = 6 choix

mais tu dois revoir le choix de c3, c5 et c6 que tu dois traiter en même temps

en remarquant que le choix de c3 et c5 imposent quasiment la couleur de c6

suppose par exemple que c2 est B; quelles sont alors les issues de c3 et c5 ?

Posté par
bbomaths
re : Combinatoire Olympiade 06-05-18 à 17:19

On fixe une couleur pour (c2).

Pour cette couleur en (c2), il y a 6 façons de colorier (c2, c3, c5 et c6).
Pour chaque couple (c3, c5), il y a 3 couples possibles pour (c4, c7).
Pour chaque singleton (c7), il y a 2 possibilités pour (c8).
De même, pour le singleton (c2), il y a 2 possibilités pour (c1).

Donc, pour une couleur en (c2), il y a 2 x 6 x 3 x 2 = 72 possibilités de coloriages différents.

Comme il y a 3 couleurs possibles pour (c2), il y a au total 3 x 72 = 216 possibilités de coloriages différents.

Posté par
bbomaths
re : Combinatoire Olympiade 06-05-18 à 17:27

Exemple pour (c2, c3, c5, c6) :


   B R   B V   B R   B R   B V   B R
   R B   R B   V B   R B   V R   R V

Posté par
carpediem
re : Combinatoire Olympiade 06-05-18 à 18:20

effectivement commencer par C2 est plus mieux bien ...

Posté par
bbomaths
re : Combinatoire Olympiade 06-05-18 à 18:32

Comme aux échecs, il faut savoir ouvrir.. pion de c2 en c4 : ouverture anglaise...

Posté par
carpediem
re : Combinatoire Olympiade 06-05-18 à 19:05

Posté par
bbomaths
re : Combinatoire Olympiade 07-05-18 à 10:18

Exemple pour une couleur :
Combinatoire Olympiade

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