Bonjour,
l'heptagone régulier n'est pas constructible tout le problème est là

Salut

Bonjour

Tu peux jeter un coup d'oeil la dessu :

PRELIMINAIRES
Au cours desquels il est important de conserver l'écartement du compas servant à tracer le cercle de centre O et de rayon r.

Soit deux droites perpendiculaires se coupant au point O.
Soit un cercle de rayon r et de centre O.
Le cercle coupe les droites en A, C et B, D.

1-Tracer les arcs de rayon r qui servent à tracer la bissectrice de l'angle AÔB. Ils se croisent au point E. La bissectrice coupe le cercle au point F (il est inutile de la tracer).
2- Tracer la bissectrice de l'angle AÔF.
3- A partir du point E, tracer l'arc de rayon r qui coupe la bissectrice de l'angle AÔF au point G.
4- A partir du point G ; tracer l'arc qui vient couper (OC) au point H.
5- Tracer les arcs de rayon r qui servent à tracer la bissectrice de l'angle BÔC, ils se croisent au point I. Tracer [OI]
6- A partir du point I, tracer l'arc de rayon r qui coupe [OI] au point J.
7- A partir du point H tracer un arc de rayon r proche du point I.
8- A partir du point J ; tracer l'arc de  rayon r qui passe par le point I et qui coupe l'arc tracé à partir du point H au point K.
9- Tracer les arcs de rayon r qui servent à tracer la bissectrice de l'angle IJK (il est inutile de la tracer). Ils se croisent au point L.
10- Tracer [OL] qui coupe l'arc reliant les points K et I au point M.
11- A partir du point M tracer l'arc de rayon r qui vient couper le cercle au point N, proche du point B.

FINALISATION

Au cours de laquelle l'écartement du compas peut être variable et s'adapter à la figure à réaliser et la taille du support a dessin.

Pour plus de clarté j'ai réduit les droites à leur stricte utilité :

1- Tracer la bissectrice de l'angle AÔD qui coupe le cercle au point P.
2- Tracer la bissectrice de l'angle PÔN qui coupe le cercle au point R.
3- Tracer au-delà du point O la bissectrice de l'angle RÔC qui coupe le cercle au point S proche du point D.
4- Tracer la bissectrice de l'angle SÔC qui coupe le cercle au point T.
5- Tracer la bissectrice de l'angle SÔR qui coupe le cercle au point U.
6- Tracer la bissectrice de l'angle TÔS au dela du point O coupant le cercle au point V entre les points B et F.
7- Tracer la bissectrice de l'angle CÔV qui coupe le cercle au point W.




CONCLUSION

[RU] = [US] = [ST] = [TC] = [CW] = [WV] = [VR]

et c'est ainsi que ce Monsieur a obtenu la médaille Fields!

Je connaissais les trisecteurs de l'angle, les duplicateurs de cube et les quadrateurs de cercles, mais je n'avais jamais encore rencontré de constructeur d'heptagone

Bonsoir,

Bon, plus sérieusement.
La construction d'un heptagone régulier à la règle et au compas est impossible, ceci ayant été démontré par Gauss etc.

L'adresse actuelle du lien donné par Nightmare est la :
L'hébergement Lycos ou Multimania de ce site ayant été supprimé, il est maintenant chez Free.

Mais Cagory n'a jamais précisé qu'il voulait faire ça à la règle et au compas !
Ni d'ailleurs qu'il voulait une construction exacte : une construction approchée, "Neusis", comme dans le site de Gerard Villemin cité, ou celle proposée par Triplemat (ce n'est qu'une construction approchée, et pas la meilleure en plus) suffit peut-être à Cagory

Si on a d'autres instruments en plus c'est possible de façon mathématiquement exacte.
Par exemple si on dispose d'un trisecteur d'angle exact (par exemple un tomahawk, ou par les origami)
Voir par exemple là : pour la construction pratique de trisecteurs. Ca fait un peu bidouille (c'est le nom du site)
Mathématiquement et théoriquement parlant on peut aussi trisecter les angles avec un traceur de coniques, qui trace des coniques de façon continue, pas point par point comme avec la règle et le compas.
Bref, si on dispose en plus de la règle et du compas d'un tel trisecteur, la construction exacte de l'heptagone devient possible.

Une construction exacte de l'heptagone avec un trisecteur :



On construit le triangle équilatéral OBC, B étant le milieu de OA
Puis on recopie CD = DF = OI = OB (= OC = BC)
La droite FI est perpendiculaire au diamètre AA'
On trace les trisectrices de l'angle FID
Ceci ne peut pas se faire à la règle et au compas, d'où l'usage d'un "trisecteur", non précisé lequel d'ailleurs
De même qu'il y a deux bisectrices d'un angle, il y a trois trisectrices, à 120° les unes des autres
Ces trisectrices coupent le diamètre AA' en H,K,L qui sont les projections des sommets de l'heptagone sur ce diamètre (les cos(2k/7))
Les sommets sont alors obtenus par des perpendiculaires en H,K,L au diamètre AA'

Cette construction est rigoureusement exacte (mais encore faut-il disposer du trisecteur !!)
Les valeurs affichées des côtés n'en sont pas une preuve. Mais avec 10 décimales égales on est très très loin de l'erreur dès la deuxième décimale dans la construction de Triplemat qui donne, pour le même rayon de 4, les valeurs :
ses CT = TS = SU = UR = 3.46704... (on devrait pouvoir prouver qu'ils sont effectivement égaux, j'ai pas regardé)
CW = VW = 3.47409... (et que ceux là aussi, idem)
RV = 3.48113...
donc une erreur de plus de 0.4 %


Et d'ailleurs comme dans toutes les constructrions approchées de ce genre, qui ne sont exactes qu'à 1% ou 1 pour mille près
Même si exacte à 10^-6 (à un micron près sur un cercle de rayon 1m !) c'est faux. Mathématiquement 0 c'est 0, pas 10^-6

La preuve de l'exactitude rigoureuse ici vient de la propriété de l'équation donnant les cos(2k/7)

Avec De Moivre : cos(7x) + i.sin(7x) = (cos(x) + i.sin(x))^7
on développe (formule du binome) et on isole les termes réels (donnant cos(7x) et imaginaires (donnant sin(7x))
(otez moi d'un doute, on est bien forum "supérieur" ici ? les nombres complexes n'ont aucun secret ?)
Ce qui fournit avec cos(2) = -1 l'équation de degré 7 donnant cos(2/7), qui se ramène immédiatement au 6ème degré car on factorise (x-1) : angle de 0/7 = 0, donc cos(x) = 1 est racine du polynome

Cette équation de degré 6 se ramène (pas facilement) à une succession d'équations du second degré et du 3ème degré, d'où le trisecteur pour résoudre l'équation du 3ème degré planquée la dedans.
Les détails ? bof...

Bonjour
On peut cependant partager un cercle en 7 parties de même aire et de même périmètre à la règle et au compas.
Voir ici Pour les amateurs de géométrie 5

Bonjour Frenicle,

Joli !
Et effectivement Cagory n'a pas précisé ce qu'il entendait par des parties "égales"