Comparaison

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Comparaison
Posté par 
flight  10-07-23 à 12:56
Bonjour ,

je vous propose l'exercice suivant : soient (x,y,z) des reéls tels que 

0 < x 1 , 0 < y 1 et 0 <z 1.

Comparez les quantités 1/x  + 1/y  + 1/z    et   1/xy  + 1/yz  + 1/zx .
 Posté par 
carpediemre : Comparaison  10-07-23 à 15:38
désolé si on peut blanker voire même effacer mon post précédent ... je voulais faire "aperçu"!! 

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en faisant de même avec y et z puis z et x on additionne les trois inégalités obtenues et en divisant par 2 on en déduit donc que 

Malou edit ** j'ai supprimé ** 
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larrechre : Comparaison  10-07-23 à 16:06
Bonjour,

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x , y et z étant 1, on a  xyx, yzy et xzz

En additionnant membre à membre puis en divisant par xyz  il vient que 1/x+1/y+1/z1/(xy)+1/(yz)+1/(zx)
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dpire : Comparaison  11-07-23 à 07:13
Bonjour,

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Je trouve a=(1/x+1/y+1/z)<b=(1/xy+1/xz+1/yz)  avec  b/a 1.5
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Sylvieg re : Comparaison  11-07-23 à 09:23
Bonjour,

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Et 
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Sylvieg re : Comparaison  11-07-23 à 10:19
PS

Un complément possible :

Il y a égalité quand x = y = z = 1.

Quels sont les autres cas d'égalité s'il y en a ?
 Posté par 
Sylvieg re : Comparaison  11-07-23 à 10:27
Une autre démonstration très simple de l'inégalité :

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1/y  1 et 1/x > 0 ; donc 1/xy  1/x.

De même 1/yz  1/y et 1/xz  1/z.

En ajoutant membre à membre...
 Posté par 
dpire : Comparaison  11-07-23 à 15:15
En regardant l'égalité de Sylvieg

Je révise.

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mon facteur 1.5 n' a pas de sens

sauf cas particulier x=0.6  y=0.8  z=0.8

  Posté par 
flightre : Comparaison  11-07-23 à 21:06
excellent ! bravo à tous , c'etait pas sorcier