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Comparer des aires
Bonjour à tous,
Alors voilà, j'ai un devoir maison pour la rentrée et je n'arrive pas à trouver des justifications au problème, mais je pense avoir la solution mais cela ne suffit pas. J'aurais donc besoin que l'on m'aide à démontrer cette solution si celle-ci est la bonne.
Voici l'énoncé:
On considère la figure suivante constituée d'un quart de cercle AC et de deux demi-cercles BA et BC.
Comparer l'aire de la zone 1 avec l'aire de la zone 2. Justifier vos réponses.
Ce que je pense avoir trouvé:
- Pour moi, l'aire de la zone 1 et l'aire de la zone 2 sont égales.
- Il faut que je le démontre mais je ne sais pas comment faire et par quoi commencer.
Ce qui doit certainement servir ou peut servir :
- Le calcul de l'aire d'un cercle pour trouver celui d'un demi cercle et d'un quart de cercle.
- Dire que le diamètre des deux demi-cercle est égal au rayon du quart de cercle AC.
Je vous remercie d'avance pour toutes aides apportés même très petite.
Bonjour Switch-Basket.
Soit a l'aire du disque dont provient chaque demi-disque.
L'aire de chaque demi-disque est a/2; la somme des aires des deux demi-disques est a.
Le quart de disque provient d'un disque D de diamètre deux fois plus grand que celui d'aire a. L'aire de D est 4a et celle du quart de disque est a.
La somme des aires des deux demi-disques est égale à celle du quart de disque.
Quart de disque = un des demi-disque plus (l'autre demi-disque moins la partie hachurée) plus la partie bleue.
Aire du quart de disque = somme des aires des demi-disques plus aire de la partie bleue moins aire de la partie hachurée.
Somme des aires des demi-disques = somme des aires des demi-disques plus aire de la partie bleue moins aire de la partie hachurée.
Il s'ensuit que aire de la partie bleue moins aire de la partie hachurée = 0.
Autrement dit, aire de la partie bleue = aire de la partie hachurée.
Merci Plumemeteore de cette réponse complète.
Mais je comprend toute la première partie qui est très logique mais la deuxième, sa se complique.
Je ne comprend pas :
"Somme des aires des demi-disques = somme des aires des demi-disques plus aire de la partie bleue moins aire de la partie hachurée."
Est ce que: "somme des aires des demi-disques= somme des aires des demi-disques" ne revient pas à la même chose, enfin si mais ce que je ne comprend pas c'est comment on peut affirmer que la partie hachuré - la partie bleue = 0 juste en disant cela.
Finalement c'est bon, j'ai tout compris.
J'ai pris le temps de tout étudier, en rajoutant quelques petits éléments, et j'ai finalement compris.
Je te remercie Plumemeteore, de cette aide.
Bonne soirée
Bonjour,
évidemment si tu mets à la poubelle tout ce qu'il y a entre :
"Bonjour Switch-Basket"
et :
"Autrement dit, aire de la partie bleue = aire de la partie hachurée"
tu rates complètement la partie intéressante de la démonstration de plumemeteore...
la démonstration entière est dans le message de plumemeteore
si on lit et comprend tout, chacune des étapes de cette démonstration bien entendu.
reprend calmement
le début est simple, c'est juste de l'application directe de la formule de l'aire d'un disque.
ensuite la clé est là :
Quart de disque = un des demi-disque plus (l'autre demi-disque moins la partie hachurée) plus la partie bleue.
ça traduit cette évidence là que l'ensemble du quart de cercle est formé des 3 morceaux indiqués :
une espèce de puzzle en trois morceaux :
- "un des demi-disque"
- "l'autre demi-disque moins la partie hachurée"
- "la partie bleue"
et ensuite c'est juste de l'algèbre sur cette égalité là.
Merci beaucoup de prendre du temps pour me répondre,
Mais je ne comprends pas, ce n'est qu'une hypothèse, comment dit-on que les zones 1 et 2 sont égales. En faisant cela, on n'imagine qu'une hypothèse, on ne le prouve pas.
Merci pour votre aide, j'apprécie beaucoup
tu n'as visiblement rien compris du tout à ce qui est écrit tu restes bloqué sur ton idée de vouloir partir du résultat demandés alors que pas du tout.
et le résultat de ton blocage mental est que tu ne lis pas du tout ce qui est écrit mais que tu imagines qu'il est écrit tout à fait autre chose
ouvre les yeux !!!!
je te le remets
on ne fait aucune hypothése sur quoi que ce soit.
il est évident et ce n'est pas une hypothèse, c'est un principe de base :
l'aire totale d'un truc est égale à la somme des aires de tous les morceaux qui composent ce truc
l'aire totale du quart de disque (avant le signe "=" de ma figure)
est égale à la somme des aires de mes trois morceaux bleus (les trois morceaux qui sont peints en bleus sur ma figure, à droite du signe "=")
on se fiche de leurs valeurs les unes par rapport aux autres, ça n'a aucune espèce d'importance, on ne considère que leur somme
quelle que puisse être leurs valeurs.
et leur différence pour dire que le deuxième morceau est un demi disque duquel on a retiré le morceau hachuré
c'est tout et uniquement cela cette égalité de départ
il n'y a rigoureusement aucune hypothèse là dedans sur la valeur relative de la partie bleue (la troisième pièce) et de la zone hachurée (ce qu'on a retiré du deuxième demi-disque pour faire la 2ème pièce du puzzle)
si ce qui te perturbe est que mes pièces sont toutes bleues, qu'à cela ne tienne :
qui traduit exactement l'égalité de départ de plumemeteore, ni plus ni moins et il n'y a aucune hypothèses "planquée" dans cette égalité
Quart de disque = un des demi-disque plus (l'autre demi-disque moins la partie hachurée) plus la partie bleue.
\_____________/ \_______________/ \___________________________________________/ \____________/
marron vert jaune bleueensuite c'est de l'algèbre pure à partir de cette égalité (suppression des parenthèses, simplifications et c'est tout)
il n'y a aucune hypothèse là dedans
relis attentivement les calculs effectués : nulle part on n'émet une quelconque hypothèse sur quoi que ce soit.
et la conclusion est ce qui est demandé
et donc tout ce raisonnement est bien la démonstration de ce qui est demandé.
Je comprends parfaitement ce que vous essayé en train de me dire. J'ai un professeur de math au lycée qui ne comprends pas non plus.
Mon annoncé est différent ; Montrer l'égalité des aires des deux parties.
Parce que je vois très bien comment le quart du disque égale les deux demi disques (un est sans la partie entre vert et jaune) + la partie bleu.
Mais je n'arrive pas à le montrer
(un est sans la partie entre vert et jaune)
il n'y a rien entre les deux morceaux vert et jaune.
Et si tu cherches à montrer que :
l'aire totale d'un truc est égale à la somme des aires de tous les morceaux qui composent ce truc
c'est la définition de base de "aire" de quelque chose, sans laquelle il est absolument impossible de seulement parler d'aires de quoi que ce soit.
et c'est valable quelles que soit "truc" et les pièces qui le composent
il n'y a pas à démontrer ça !!!!
ici on l'utilise cette propriété fondamentale des aires, de toutes les aires pour obtenir une relation qui fait intervenir :
l'aire de demi-disques, l'aire de quart de disques, l'aire inconnue bleue (je vais l'appeler X) et l'aire inconnue hachurée (je vais l'appeler Y)
les premiers calculs de plumemeteore montrent que
l'aire du quart de disque = a (notation de plumemeteore) = l'aire de deux demi disques, et aire d'un demi-disque = a/2
ce qui permet d'exprimer avec ces notations cette EVIDENCE :
je te remets une figure avec toutes les notations :
il n'y a aucune hypothèse sur X et Y
ensuite on fait du calcul algébrique sur cette égalité "sans état d'âme" et sans ajouter aucune hypothèse de quoi que ce soit :
a = a/2 + (a/2 - Y) + X
a = a/2 + a/2 - Y + X
a = a - Y + X (a/2 + a/2 = a !!!)
a - a + Y = X (ajout / retranche une même quantité aux deux membres)
et finalement DONC (puisque a - a = 0)
Y = X
on a donc bien démontré que l'aire bleue de la figure initiale (X) est égale à l'aire hachurée (Y)
Ces calculs que j'ai écrit ici avec des X et des Y sont exactement ceux, ni plus ni moins, que ce qu'avait écrit plumemeteore
Et si ce qu'il te manque c'est le tout début des calculs de plumemeteore
(que l'aire du quart de disque = a et celle d'un demi disque est a/2) :
reprenons ces calculs en appelant R le rayon des demi disques
un disque de rayon R a pour aire a = pi R²
un demi disque a pour aire la moitié = a/2 (totalement évident)
le quart de disque à un rayon double = 2R
l'aire d'un disque de rayon 2R est pi(2R)² = 4 pi R²
et le quart de disque = pi R² = a
TOUT a déja été écrit dans le message de plumemeteore
ce que j'ajoute n'est que de l'enfonçage de clous à grands coups de marteau.
J'ai un professeur de math au lycée qui ne comprends pas non plus
...
Je suis avec deux professeurs et ils ont compris aussi
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