Bonjour,
Qu'as-tu tenté ?
Peux-tu écrire la définition de f concave sur ?

Une piste :
Commencer par se ramener au cas a = 0 en posant g(x) = f(x+a).
Puis démontrer g(x) x[g(1)-g(0)]+g(0).

Rajouter "pour x 1"

Merci beaucoup pour tes réponses (je m'étais absenté).
Ah oui, j'ai pas précisé dans l'énoncé mais f est supposée deux fois dérivable aussi, j'ai essayé en partant de ça mais sans aller bien loin.
En tout cas dans le cas général j'ai avancé selon ce que tu as conseillé:  l'inégalité en 0 et 1 pour la fonction g vient du fait que g est une translation de f donc conserve la propriété de concavité. On ainsi: pour

en reproduisant cela sur tout intervalle , on obtient: . ().
Il faut donc supposer f strictement décroissante pour conclure.
Est-ce cela ?

Ça revient, avec n =0, à ton " . "
Mais comment le démontres-tu ?

En fait non, je trouve une inégalité dans l'autre sens ...
Dom(g) =
1. Mq g est concave: , soit g est concave sur son domaine.

2. Mq g(x) <= x[g(1)-g(0)]+g(0): Appliquons l'inégalité de concavité à g entre 0 et 1:

Écrire une inégalité avec x entre 0 et 1 quand on veut faire tendre x vers + ne peut pas être très utile
Par contre utiliser 1/x avec x > 1 peut faire avancer les choses.

Peux-tu écrire la définition de g concave sur ?
En évitant la lettre a déjà utilisée dans l'énoncé.
Je ne reviens que dans environ une heure.

je pensais qu'on allait le montrer sur une union d'intervalles de taille 1. D'accord.
g concave sur

Pas besoin d'intervalles de taille 1.

1/x est dans quel intervalle si x > 1 ?

alors
donc on peut appliquer l'inégalité de concavité à g entre 1/x et x.

Bonjour

il me semble que pour conclure il faut supposer en plus que la fonction est non constante.

puis prendre un réel tel que ,

l'inégalité des pentes donne alors : , ... _{sauf erreur de ma part bien entendu}

Oui pour .
Sinon, voir Fonction concave et décroissante

Ok, j'ai bien compris dans le cas où la fct est dérivable selon l'autre sujet.
Mais dans le cas non dérivable grâce à l'inégalité des pentes entre 0 et 1 pour x>1 j'ai montré que g(x)<x(g(1)-g(0))+g(0). donc dès que g str décroissante, on a g tend vers - par cette formule?

Sinon je n'ai pas compris l'intérêt de x>1 et 0<1/x<1 ici, pourquoi as tu introduit cela ?

Pour pouvoir poser t = 1/x.

D'accord.
Merci beaucoup pour tes réponses !

De rien, et à une autre fois sur l'île