Bonsoir,
je crois qu'il faut mettre un strictement à décroissante ou à concave pour éviter les fonctions constantes.

Une esquisse de démonstration avec une fonction strictement décroissante :

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Soit b]a;+[. On considère les points A(a,f(a)) et B(b,f(b)).
À partir du point B la courbe de f est en dessous ( au sens large ) de la droite (AB).

Bonsoir,

Le plus simple c'est lorsque f est dérivable. Car par décroissance et non constance, il existe une tangente de pente strictement négative qui majore f.

Dans le cas général :

* Quitte à "décaler horizontalement et verticalement la fonction" on peut supposer que a=0 et que f(0)=0 sans perte de généralité.
* f est décroissante non-constante donc il existe b>0 tel que f(b)<0

Soit x>b
f(0*(1-b/x) + b/x * x) 0 + b/x*f(x)
càd
x * f(b)/b f(x)
Mais comme f(b)/b<0 alors f tend vers -

Bravo thetapinch27. Je ne pense pas qu'on puisse faire plus simple
Sujet inspiré par concavité et décroissance

En fait, je crois qu'il y a des coquilles dans

Citation :
f(0*(1-b/x) + b/x * x) 0 + b/x*f(x)

Pas vraiment de coquille en fait :

Bonjour

Juste une petite remarque : la question n'est-elle pas la même que "convexe et croissante tend vers plus l'infini" sans doute plus naturelle ?

Imod

Bonjour Imod,
Oui, tout à fait. Mais c'était la question posée dans l'autre sujet concavité et décroissance.