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concour pour les maitre du polynome ( 9 sur l echel de richter)
bonjour et surtout bon courage cet exo demande pa mal de patiente.
factorisation d'un polynome par x-
1.soit un reel et p un polynome. demontrer que si pour tout reel x, p(x)=(x-)fois Q(x) ou Q est un polynome, alors est une racine de P.
2.on se propose detablir la reciproque.
a) soit p un entier naturel non nul. demontrer que pour tous reels x et y on a :
(x-y)(x[/sup]p-1 +yx[sup]p-2+...+ x+y[/sup]p-1)=x[sup]p-y[/sup]p.
b)on suppose que p(x)=a[/sub]n x[sup]n +a[sub]n-1 x[/sup]n-1+...+a[sub][/sub]0 et ecrire l egalite verifiee par .
calculer p(x)-p() et demontrer que (x-) est un facteur commun dans l ecriture de p(x)-p().(on utilisera l egalite du a) avec p=1 ,p=2,...,p=n
c) en deduire que p(x) est divisible par (x-).
3) application
on considere le polynome p defini par:
p(x)=4x[sup]3 -16x[sup][/sup]2 +13x-3
calculer p(3)
en deduire une factorisation de p(x),puis resoudre l equation p(x)=0 dans R.
voila bon courage
Bonjour, 
1.Il suffit de remplacer x par pour obtenir P()=0.
2.
a) On développe le premier membre :
(x-y)(xp-1 +yxp-2+...+yp-1)
=xp+yxp-1-yxp-1+...-yp.
En supprimant les termes deux par deux, il ne reste que deux termes.
b)
p(x)-p()=an(xn-n)+...+a1(x-)
En utilisant l'égalité du a comme indiqué, on démontre que x- est un facteur commun à tous les termes donc à p(x)-p()
c) Comme p()=0, on en déduit que p(x) est divisible par (x-).
3) application
p(3)=0
On peut donc factoriser (x-3)
p(x)=(x-3)(ax²+bx+c) et il faut déterminer a, b et c.
@+
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