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Conjonction de deux corps célestes. Arithmétique et Astronomie

Posté par
Minoucat
29-10-12 à 17:05

Bonjour j'ai un devoir maison à faire pendant les vacances. Je bloque complétement sur un exercice, je n'arrive même pas à le commencer ou à trouver des pistes.
Donc voici l'exercice en question :

Un astronome a observé une nuit N0 le corps céleste A qui apparaît périodiquement tout les 105 jours. Six jours plus tard, pendant la nuit (N0+6), il observe le corps B, dont la pérdiode d'apparition est de 81 jours.
On note N1 la nuit de la prochaine apparition simultannée des deux objets aux yeux de l'astronome. Le but de l'exercice est de déterminer la date de la nuit N1.
On note u et v le nombre de périodes effectuées respectivement par A et B entre N0 et N1.

1/- Démontrer que 35u - 27v = 2

2/- Démontrer que le point de coordonnées A (7;9) appartient à la droite d'équation (Delta) : 35x - 27y - 2 = 0
Ici je pense qu'il faut remplacer les coordonnées du point dans l'équation tel que
35 x 7 - 27 x 9 - 2 = 245 - 243 - 2 = 0

3/- Démontrer qu'il n'y a pas de point à coordonnées entières sur la droite (Delta) sur l'intervalle [1;6]

4/- En déduire alors les valeurs de u et v

5/- Combien de nuits s'écouleront entre N0 et N1 ?

6/- La nuit N0 était le mardi 7 décembre 2010. Quelle est la date exacte de la nuit N1 ?

Voila, comme vous le voyez je n'ai réussis qu'une seule question.
Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
Cherchell
re : Conjonction de deux corps célestes. Arithmétique et Astrono 30-10-12 à 06:00

1. le corps céleste A est vu la nuit N 0 et apparaît périodiquement tout les 105 jours donc il existe un entier naturel u tel que N 1 = N 0 + 105 u
le corps céleste B  est vu la nuit N 0 + 6 et apparaît périodiquement tout les 81 jours donc il existe un entier naturel v tel que N 1 = N 0 + 6 + 81 v
Il s'agit de la même nuit donc N 0 + 105 u = N 0 + 6 + 81 v 105 u - 81 v = 6 3 ( 35 u - 27 v ) = 3 2 35 u - 27 v = 2

2. 35 × 7 - 27 × 9 - 2 = 245 - 243 - 2 = 0 donc le point de coordonnées A (7 ; 9) appartient à la droite d'équation () : 35 x - 27 y - 2 = 0

3. x appartient à l'intervalle [1 ; 6] et y =  , cherchons les coordonnées des points de () donc l'abscisse est un nombre entier compris entre 1 et 6
x 1 2 3 4 5 6
y 11/9







donc il n'y a pas de point à coordonnées entières sur la droite () sur l'intervalle [1 ; 6].

4. Le point A (7 ; 9) appartient à la droite () et il n'y a pas de point à coordonnées entières sur la droite () sur l'intervalle [1 ; 6] donc le premier point à coordonnées entières de () est A donc u = 7 et v = 9.

5. N 1 = N 0 + 105 u donc entre N 0 et N 1 s'écouleront 7 × 105 nuits soit 735 nuits.

6. En 2011, il y a 365 jours, en 2012 il y a 366 jours donc entre le mardi 7 décembre 2010 et le mardi 7 décembre 2012 se sont écoulés 365 + 366 = 731 jours, il reste donc encore 4 jours avant la nuit N 1
La date exacte de la nuit N 1 est donc le 7 + 4 décembre 2012 soit le 11 décembre 2012 qui est encore un mardi.

Posté par
Cherchell
re : Conjonction de deux corps célestes. Arithmétique et Astrono 30-10-12 à 06:05

dsl j'ai appuyé malencontreusement sur Entrée, je reprends la question 3
3. x appartient à l'intervalle [1 ; 6] et y=\frac{35x-2}{2}, cherchons les coordonnées des points de () donc l'abscisse est un nombre entier compris entre 1 et 6

x123456
y\frac{11}{9}\frac{68}{27}\frac{103}{27}\frac{138}{27}\frac{173}{27}\frac{208}{27}

donc il n'y a pas de point à coordonnées entières sur la droite () sur l'intervalle [1 ; 6].

Posté par
Minoucat
re : Conjonction de deux corps célestes. Arithmétique et Astrono 30-10-12 à 15:14

Merci beaucoup pour cette aide. J'ai retravaillé l'exercice pour comprendre et en essayant de calculer y j'ai obtenu (2-35x)/(-27) Est ce une erreur de calcul de ma part ?

Posté par
Cherchell
re : Conjonction de deux corps célestes. Arithmétique et Astrono 30-10-12 à 17:27

non c'est la même chose : multiplie le numérateur et le dénominateur par - 1 et tu verras qu'on passe d'un résultat à l'autre



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