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Constitué d'impairs, Divisible par 5, et rebelote.

Posté par
littleguy
06-04-16 à 18:17

Bonjour,

Soit A(n) le nombre d'entiers divisibles par 5, constitués de n chiffres impairs, et dont le quotient par 5 est encore un nombre constitué de n chiffres impairs lui-même divisible par 5.

Quelle est la plus petite valeur de n telle que l'écriture décimale de A(n) fasse intervenir tous les chiffres de 0 à 9 ?

Posté par
rschoon
re : Constitué d'impairs, Divisible par 5, et rebelote. 06-04-16 à 19:08

gagnéBonjour à tous.

Je propose la valeur 41.
A(41)= 4052555153018976267

merci pour l'énigme

Posté par
trapangle
re : Constitué d'impairs, Divisible par 5, et rebelote. 06-04-16 à 19:25

gagnéBonjour,

Avec les hypothèses que :
- les nombres sont constitués uniquement de chiffres impairs (et pas aussi de pairs) et
- le quotient dont il est question est celui des nombres, pas de A(n);
alors il me semble que A(n) = 3n-2

Le premier exposant de 3 à contenir tous les chiffres est 339, donc la solution est :
n=41

Merci, bonne soirée !

Posté par
torio
re : Constitué d'impairs, Divisible par 5, et rebelote. 06-04-16 à 20:31

gagnén= 41

A(n) = 4052555153018976267

Posté par
masab
re : Constitué d'impairs, Divisible par 5, et rebelote. 06-04-16 à 21:10

gagnéBonjour littleguy,

La plus petite valeur de n telle que l'écriture décimale de A(n)
fasse intervenir tous les chiffres de 0 à 9 est n=41.

De plus on a  A(41) = 3^{39} = 4052555153018976267 .

Merci pour cette énigme arithmétique.

Posté par
pondy
re : Constitué d'impairs, Divisible par 5, et rebelote. 06-04-16 à 21:59

gagnésalut
n=41
A(41)=3^39=4052555153018976267

Posté par
manitoba
re : Constitué d'impairs, Divisible par 5, et rebelote. 06-04-16 à 22:17

gagnéBonsoir LittleGuy,

Joli!
n=41
A(n)=3^39=4052555153018976267

Merci pour l'énigme.
(désolé pour l'erreur de 1 de la précédente)

Posté par
Nofutur2
re : Constitué d'impairs, Divisible par 5, et rebelote. 06-04-16 à 23:49

gagnéEn calculant A(n), pour n=2 puis n=3, puis n=4 ...on s'aperçoit que A(n)=3n-2.
Il est facile ensuite de vérifier que la plus petite valeur de n-2 telle que A(n) comporte tous les chiffres de 0 à 9 est égale à n-2=39..
Donc la plus petite valeur de n cherchée est n=41... (sauf grosse boulette bien entendu).

Posté par
royannais
re : Constitué d'impairs, Divisible par 5, et rebelote. 07-04-16 à 10:12

perduBonjour,

Je propose n = 21

A(21)  = 19 073 486 328 125

Posté par
LittleFox
re : Constitué d'impairs, Divisible par 5, et rebelote. 07-04-16 à 11:37

gagné
La plus petite valeur de n telle que l'écriture décimale de A(n) fasse intervenir tous les chiffres de 0 à 9 est 41. En effet, A(41) = 4052555153018976267.

Soit D les nombres répondant à la condition et Q leur quotient par 5.
Chaque chiffre de Q est impair et Q est donc de la forme Q = 11...11 + 2*(q_{n-1}q_{n-2}...q_1q_0) ,  q_i \in [0,4].
D = 5Q = 55...55 + 10*(q_{n-1}q_{n-2}...q_1q_0).
Chaque chiffre de D doit être impair donc 5 + q_{i-1} est impair, donc q_i \in \{0,2,4\}.
D ne contient que n chiffres donc q_{n-1} = 0.
Q est divisible par 5 et ses chiffres sont impairs, donc Q fini par 5, donc 1+2*q_0 = 5 donc q_0 = 2

On peut générer tous les Q et les D correspondant en faisant varier q_i \in \{0,2,4\}, 1 \le i \le n-2. On en déduit A(n) = 3^{n-2}.

La plus petite puissance de 3 qui contient tous les chiffres de 0 à 9 est 3^{39} = 4052555153018976267. Donc A(41) = 3^{41-2} = 3^{39}  est la plus petite valeur de A(n) qui contiennent tous les chiffres de 0 à 9.

Cette énigme m'a vraiment plu car elle permet une vérification algorithmique (pour les petits n) mais demande une réflexion mathématique pour obtenir la réponse.

Posté par
franz
re : Constitué d'impairs, Divisible par 5, et rebelote. 07-04-16 à 13:46

gagnéOn montre que A(n)=3^{n-2} \qquad \qquad(n\geqslant 2)}
(les nombres qui conviennent sont du type   \bar{a_{n-1}a_{n-2}\cdots a_2 75^\strut{}} avec \forall i \in\{2,...,n-1\},\;a_i\in\{5,7,9\})

Le premier entier tel que l'écriture décimale de A(n) contienne tous les chiffres de 0 à 9 est
\large \red n=41

Posté par
royannais
re : Constitué d'impairs, Divisible par 5, et rebelote. 07-04-16 à 16:40

perduencore une réponse trop rapide qui me vaudra un poisson;

je propose maintenant n =41

A(41) = 4 052 555 153 018 976 267

Posté par
sbarre
re : Constitué d'impairs, Divisible par 5, et rebelote. 07-04-16 à 17:05

perduBonjour,
après initialement pense quíl fallait obligatoirement programmer pour trouver la solution, j'ai essaye de trouver avec des petites valeurs de n, le nombre A(n).

Cela m'a permis de voir que A(n) vaut 3*5n-3, puis d'en deduire les differentes valeurs de A(n) en fonction de n.

On arrive a 4470348358154296875 pour n=29, qui contient tous les chiffres de 0 a 9.

Merci pour cette enigme et a la prochaine.

Posté par
sbarre
re : Constitué d'impairs, Divisible par 5, et rebelote. 07-04-16 à 18:19

perduDamned je viens de me render compte que j'ai oublie une condition: le fait que le quotient par 5 est lui aussi compose de chiffres impairs (et pas seulement de n chiffres...), donc tout faux

Posté par
geo3
re : Constitué d'impairs, Divisible par 5, et rebelote. 07-04-16 à 18:22

gagnéBonjour
Je pense que la plus petite valeur de n qui répond à la question est  41
A+

Posté par
vham
re : Constitué d'impairs, Divisible par 5, et rebelote. 07-04-16 à 22:12

perduBonsoir,

n=40

est  la plus petite valeur de n telle que l'écriture décimale de A(n) fasse intervenir tous les chiffres de 0 à 9

Posté par
Chatof
re : Constitué d'impairs, Divisible par 5, et rebelote. 08-04-16 à 02:56

gagnén=41  A(41)=4 052 555 153 018 976 267

A(n)=3^(n-2)    Merci

Posté par
carita
re : Constitué d'impairs, Divisible par 5, et rebelote. 08-04-16 à 10:42

gagnébonjour .... et merci !

si j'ai correctement interprété l'énoncé :

on établit la relation : A(n) = 3^{n-2}

la plus petite puissance de 3  qui convient est  3^{39}  
soit A(n) = 4052555153018976267

d'où ma réponse  :
la plus petite valeur de n telle que l'écriture décimale de A(n) fasse intervenir
tous les chiffres de 0 à 9
est     n = 41

Posté par
Lionelink
re : Constitué d'impairs, Divisible par 5, et rebelote. 09-04-16 à 01:41

perdu37

Posté par
AllEn
re : Constitué d'impairs, Divisible par 5, et rebelote. 09-04-16 à 01:42

perduJe pense que n=37 est la plus petite valeur de n pour satisfaire la condition sur A(n) demandée.

Posté par
Achdeuzo
re : Constitué d'impairs, Divisible par 5, et rebelote. 11-04-16 à 14:24

perduBonjour

J'ai bien réfléchi avant de poster cette réponse, et je pense que le problème n'a aucune solution.

En effet, quelle que soit la valeur de n, il existe au moins un entier répondant à ces conditions, et on peut en déduire une infinité d'autres en multipliant par 10.

Merci pour cette énigme !

Posté par
dpi
re : Constitué d'impairs, Divisible par 5, et rebelote. 16-04-16 à 08:11

perduBonjour,
J'ai travaillé des jours sur cette énigme et compte -tenu de la rapidité
de réponse de certains (et non des moindres) ,je doute de ma réponse:
n=19

Posté par
jugo
re : Constitué d'impairs, Divisible par 5, et rebelote. 22-04-16 à 12:16

gagnéBonjour,

J'ai trouvé que A(n) = 3n-2
En faisant confiance à la calculatrice windows, je trouve que la valeur cherchée est :

n = 41

et A(41) = 339 = 4 052 555 153 018 976 267

Merci.

Posté par
littleguy
re : Constitué d'impairs, Divisible par 5, et rebelote. 28-04-16 à 09:29

Énigme clôturée.

Merci pour votre participation et bravo à ceux qui ont trouvé.

Posté par
Achdeuzo
re : Constitué d'impairs, Divisible par 5, et rebelote. 02-05-16 à 19:52

perduSalut à tous

Bon je tiens à préciser que je suis pas du tout mauvais joueur
Mais je n'arrive pas à comprendre ce qui cloche dans mon raisonnement...
Quelqu'un pourrait-il y jeter un coup d'œil et me le dire ? Ça va me rendre fou x)

Après avoir cherché pendant plusieurs jours, j'ai plutôt essayé de démontrer que A(n) était soit nul, soit "infini".

On considère tous les multiples positifs de 25, qui sont sous la forme 25k, avec k un entier naturel.

Pour n fixé, on cherche le nombre de valeurs de k pour lesquelles on ait :
- n chiffres impairs dans 25k
- n chiffres impairs dans 5k

Il y'a deux situations possibles :
- soit il n'existe aucune solution et A(n) = 0
- soit il existe au moins une solution et A(n) > 0

S'il existe au moins une solution, on note la plus petite k1 : ainsi, 25k1 et 5k1 ont n chiffres impairs.
Le fait de les multiplier par 10 ne fait qu'ajouter un 0 à la fin : ainsi, 10 25k1 = 25 (10k1) et 10 5k1 = 5 (10k1) ont aussi n chiffres impairs.

On en conclut que k2 = 10k1 est aussi une solution.
On peut répéter cette opération indéfiniment, et donc obtenir une infinité de solutions.

Voilà^^

J'ai aussi essayé de démontrer qu'il existait au moins une solution, qui est :
- k = 8 pour n = 0 (ça fait 200 et 40, qui ont bien 0 chiffres impairs)
- k = 2 \times \sum_{i = 1}^{n}{10^{n-1}} pour n 0 (ça fait 50 et 10 pour n = 1, 550 et 110 pour n = 2, etc...)

Merci d'avance !

Posté par
trapangle
re : Constitué d'impairs, Divisible par 5, et rebelote. 02-05-16 à 20:17

gagnéSalut,

Il me semble que c'est le fait que les chiffres pairs ne sont pas autorisés dans les nombres. Quand tu multiplies par 10, tu ajoutes un 0 donc un chiffre pair, et le résultat ne doit pas être compté dans A(n).

J'ai aussi hésité là-dessus (voir ma réponse), mais la définition de constituer m'a fait pencher vers l'énoncé "chiffres pairs interdits" : "Contribuer, par leur réunion, à former un tout."

Posté par
Achdeuzo
re : Constitué d'impairs, Divisible par 5, et rebelote. 02-05-16 à 20:43

perduAh oui effectivement...
Après avoir lu cette définition je comprend l'énoncé différemment !

Bon bah tant pis, je vais essayer de voir si j'aurais trouvé la solution tout seul.

En tout cas merci d'avoir répondu aussi vite, et bonne soirée

Posté par
Chatof
re : Constitué d'impairs, Divisible par 5, et rebelote. 02-05-16 à 20:49

gagnéBonsoir Achdeuzo
Juste un problème de compréhension du sujet.
"Soit A(n) le nombre d'entiers divisibles par 5, constitués de n chiffres impairs,"
et non comprenant  n chiffres impairs
il fallait comprendre:
Soit A(n) le nombre d'entiers divisibles par 5, constitués de n chiffres impairs et 0 chiffre pair.
voir:


si k est bon,
10*k n'est pas bon à cause du 0

Posté par
trapangle
re : Constitué d'impairs, Divisible par 5, et rebelote. 02-05-16 à 20:49

gagnéDe rien, bonne soirée à toi aussi

Posté par
Chatof
re : Constitué d'impairs, Divisible par 5, et rebelote. 02-05-16 à 20:58

gagné??? Un bug du "Vérifier la présence de nouvelles réponses"  dans le forum énigmes?
Désolé je n'ai pas pas les messages précédents!

Posté par
Achdeuzo
re : Constitué d'impairs, Divisible par 5, et rebelote. 03-05-16 à 16:34

perduAhah, merci quand même

Deux explications valent mieux qu'une

Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 0
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0 0

Temps de réponse moyen : 52:46:58.
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