Bonjour,

j'ai raté quelque chose ? (continuer ???)

il me semble que ceci a été fait en exo de très nombreuses fois ici.
où les contraintes sont différentes ?

Bon

Alors, j'ai dé coné....

reste aussi à savoir si la soudure bord à bord étanche est autorisée ...
ou si on n'a droit qu'a seulement un pliage / roulage / froissage "étanche par principe"
le niveau étant défini par l'altitude du bord le plus bas de la feuille dans ce pliage / roulage / froissage (au dessus "ça déborde")

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la méthode "de l'exo" conduit à une contenance "visiblement améliorable", moyennant des complications difficilement maitrisables (c'est pourquoi je parle de froissage) ...

l'exo "classique" est de découper des coins pour former une boite parallélépipédique

ici les coins ne seraient pas découpés (pour cause d'étanchéité) mais repliés, ce qui donne pareil

mais ... si on fait quelque chose en forme d'auge, intuitivement on peut imaginer un volume peut être supérieur. et encore plus si on fait des flancs pas plans.
Comme la surface qui englobe le plus grand volume pour une aire donnée est la sphère, on cherche à se rapprocher "le plus possible" d'une (demi)-sphère.

vu que la surface obtenue doit être entièrement développable, il y aura des portions de cones, cylindres et plans raccordés entre eux par froissage (nombre de plis infinis)

Bonjour,

Dans ce cas le meilleur volume semble 2,25699021 litres
ce qui est nettement à supérieur à celui du cône maxi : 0.4886..

oups!!

parallélépipède = 1.128495 litre

Geogebra (parce que j'ai la flemme de faire des calcul moi-même) est d'accord avec ton résultat (le 2ème)
mais vu la précision des dimensions, ce n'est pas la peine de donner autant de décimales !



contrairement à l'exo classique, on ne découpe pas les coins, on les plie (selon le pli en pointillé)
sinon on devrait faire ce que j'ai indiqué : des soudures bord à bord étanches

reste à voir ce que donnerait une forme non parallélépipédique dont intuitivement on sent bien que le volume devait être supérieur
(avec les côtés inclinés et les angles "en forme de cone") vu qu'une telle forme "se rapprocherait d'avantage de la demi-sphère"

vu que on a maintenant deux degrés de liberté (x et angle) au lieu d'un (x seulement) la recherche du maximum est un peu plus compliquée
(et déja la mise en équations ...)

voire même des pliages plus compliqués encore, se rapprochant plus d'un "froissage" du papier que d'un bon pliage avec des plis clairement identifiés

je me refuse toujours à faire ces "soudures bord à bord étanches" parce que sinon on peut découper le papier en 2 morceaux ou plus que l'on ressoude pour faire un demi-cube
en 2 pour faire un cube je sais faire, pour le demi-cube peut être faut-il plus de 2 morceaux

après quelques investigations "pratiques" (= en jouant sur des curseurs définissant la figure) j'arrive à 1.32 litre, avec mon idée d'auge (un lingot à l'envers)



le petit bout de construction dans l'angle en haut à gauche est la construction géométrique par rabattements de la hauteur h de l'auge
ça peut se calculer par Pythagore, mais j'ai eu la flemme...

B₁ et B₂ sont les aires des deux bases = (a-2x)(b-2x) et u.v,
B_m l'aire de la section médiane (= m.n)

trouver la valeur théorique du maximum par le calcul .. bof

et on n'a encore que des faces planes, on n'a pas encore essayé de faire des faces courbes (coniques) dans les coins...

Salut,
j'ai fait les calculs pour le  volume de l'auge.
En posant sur ta figure x=EA et y= EF on a


Je n'ai pas essayé d'aller beaucoup plus loin, à part la constatation évidente que, pour une valeur donné de x, on améliore localement en prenant y>0.

Sinon je crois que le maximum absolu, avec découpe et recollage étanche sans limitation, est obtenu en transformant la feuille en demi-sphère.
Dans ce cas, comme l'aire de la feuille est dm² on a un volume  en litre de

En supposant que l'aire est un invariant par découpage, je sais que c'est vrai dans le plan, je ne suis pas certain que ce soit toujours le cas.

oui, mais comme la surface d'une sphère est non développable il te faut une infinité de morceaux ... :d

(on va dire que sans trucs "pathologiques" à la Banach-Tarski le découpage recollage conserve les aires et les volumes)

J'entends bien : c'est une borne supérieure.
En excluant la possibilités de morceaux de mesure nulle.

on est d'accord, une borne supérieure impossible à atteindre
mais reste que l'on cherche tout de même un "découpage" pratique (voire même un pliage sans découpage pour éviter de devoir faire des soudures étanches)

Sans aucune justification, je crois que la borne sup d'un pliage possible est atteinte pour  un « pliage » formant, à la limite, deux ellipses comme bases.
Mais la seule idée des calculs m'effraie.

on peut même se demander si en "froissant" le fond pour le rendre "bombé" on ne peut pas encore y gagner un petit quelque chose, mais là, sans même faire des calculs ... ça fait peur.

il faut contacter le "centre des froisseurs de papier" (CRIMP ) !!

On peut certainement.
Pour être franc je pense que l'ellipse de base est un segment de longueur a-b.
Mais je ne voit pas comment aborder le problème.
Je vais essayer d'y penser, un autre jour.

Bonjour,

Si on était confronté à la nécessité de faire un récipient avec
une feuille 20x29.7 (plastifiée...) et 4 trombones ,la solution
optimale serait : >1 litre malgré les déformations inévitables.

oui, ça on le sait depuis pas mal de temps dans ce sujet, avec un volume de 1.13 L
mais comme déja dit on peut faire mieux en pliant "en biais" au lieu de plier droit,
ce qui donne 1.32 L
toujours rien qu'en pliant "et 4 trombones" :


je n'ai montré qu'un seul coin correctement plié (la flemme de dessiner les autres)

construction approximative de ce pliage :
voir ma figure précédente que je remets pour plus de clarté



plier la feuille A4 en 4 dans le sens de la longueur pour obtenir les plis IJ et KL
plier chaque angle à 45° IA etc, puis replier pour obtenir les plis "en travers" IL et JK à la même distance que les plis "en long"
marquer les milieux F etc de chaque coté des carrés de coins
et marquer les plis IF etc des angles
plier le tout en forme d'auge
rabattre les coins pour stabiliser l'ensemble (et ajouter un trombone si on veut)
ce n'est pas tout à fait le maximum, mais c'en est suffisamment proche
le volume obtenu est 1.315 L au lieu de 1.316 L
avec x = 5.5 au lieu de 5.61 et p = 0.5 au lieu de 0.47 (cf. la figure de l'optimum)

oups. la division en 4 de 21 cm donne 5.25 cm pas 5.5 ce qui donne 1.313 L avec le pliage ci-dessus

si on peut en plus de la seule feuille de papier (et des 4 trombones) sortir son double décimètre, on peut toujours tracer AE = 5.6 cm et AF = 2.6 cm ... pour gagner 3 mL

Bonsoir,

les idées émises qui prévoyaient de se raprocher idéalement de surfaces curvilignes telles  la sphère, m'ont inspiré. J'ai réalisé une surface se rapprochant d'un calot militaire au moyen d'une feuille A4 collée comme sur l'image jointe avec un recouvrement signalé en bleu.
J'ai rempli le volume ainsi créé avec des grains de riz pour une quantité d'environ 1,45 litre.
Je ne sais pas calculer mathématiquement cette surface qui peut être assimilée à deux conoïdes joints en symétrie ( s'appuyant sur 1 droite directrice + 1/2 ellipse dans un plan parallèle à la directrice mais avec des génératrices curvilignes)



amitiés

bien vu pour cette expérience pratique avec des grains de riz !
cela rejoint l'idée de verdurin :

suite...

Je constate que la réflexion fonctionne  bien.

Je n'ai pas compris le demi-cube qui reste un parallélépipède
et donc <1.3 litre.

Avec la technique de castoriginal que donnerait le calot dans l'autre
forme ?

14.35 =14.85 bien sûr

suite

En  attendant les grains de riz, j'ai fait un modèle du calot 21x14.85:
Il semble que les strates d'aires successives soient des tronçons de courbes de gauss
accolées  symétriquement, celle de l'ouverture mesurant 90 cm² d'après
mes calculs...j'aimerai voir l'intégration  pour les volumes ,d'autant
plus que les bases des tronçons varient de 17 à 21 cm.

au max si on avait la même aire on trouverait  1337 cm3

Je rappelle toutefois que le sommet n'est pas une courbe plane
on ne peut remplir le calot que jusqu'au niveau M, au dela ça déborde



ça tient peut être en équilibre avec des empilement de grains de riz dans les zones blanches, mais pas avec un liquide.
(je rappelle que la phrase initiale "Notre papier est bien sûr plastifié" suggère très fortement qu'on le remplit de liquide et pas de grains de riz, des grains de riz ne nécessiteraient aucune plastification du papier !)


d'autre part l'ouverture est un paramètre libre.
il faudrait déterminer "l'écartement" choisi entre les "lèvres" du calot (entre les points M et son symétrique M')
ainsi que la forme choisie de cette ouverture.

compter sur "ça se démerde en remplissant" est faux bien entendu car ce qui est alors optimisé n'est pas le volume mais la position du centre de gravité du liquide la plus basse possible, l'énergie potentielle dans le champ de pesanteur, compte tenu de la contraire de la surface développable d'aire constante.

je reviens sur la propriété dont j'avais vaguement déja parlé

avec une feuille de papier on ne peut obtenir que par définition une surface développable,
formée d'une réunion de surfaces "lisses" c'est à dire de classe C2 (dérivables deux fois), sauf froissage fractal.
un théorème affirme alors que chacun de ces morceaux développable et de classe C2 est donc aussi une surface réglée. (engendrée par des droites)

une surface "pratique" développable est donc forcément réglée (par morceaux)
mais une surface réglée n'est pas forcément développable
les études sur les conoïdes (surfaces réglées à priori non développables) ne sont donc pas applicables directement ... hélas.
le conoïde particulier que l'on considère ici est plus précisément de la famille des "coins coniques" :

les "génératrices" sont donc ici aussi forcément des droites. reste que les identifier n'est pas forcément immédiat !!
d'où "l'erreur" de castoriginal "avec des génératrices curvilignes".
les génératrice sont ici des droites qui s'appuient sur le fond et sur le bord (une courbe non plane comme déja dit)
bien entendu on peut définit une section plane quelconque de ce "truc" comme courbe directrice.

Bien compris,

C'est donc pour l'aire maxi de M que je trouve 90cm²,ton calcul
sera t-il proche  de cette valeur?

l'aire maxi de M ne donne pas forcément le volume maxi du calot.
d'ailleurs cette aire maxi au niveau de M sera lorsque la section plane à ce niveau sera "la plus possible un cercle" (aire maximale pour un périmètre disons à peu près constant 42 cm (avec le fond = 21)
ce qui donne une aire de l'ordre de 21²/pi 140 cm²
en corrigeant que le point M est plus bas et donc le périmètre de la section plane au niveau de M est de l'ordre de un peu plus que 42 cm (hypoténuse > côté)
cette aire maxi est donc > 140 cm².

quant à l'aire au niveau du fond, elle est nulle ("aire" d'un segment de droite)

je suis en train de réfléchir à une approximation de ça avec un pliage polyèdrique (une sorte de berlingot ouvert) car alors le volume est une somme de pyramides bien plus faciles à calculer !
en fonction de la "diagonale" d'ouverture, pour déterminer le maximum du volume en fonction de cette diagonale

Bon, alors résultats sur ce calot "à pans" bof ... décevant.
j'ai modélisé ça sur Geogebra (constructions en 3D en fonction de l'ouverture) et en baladant cette valeur de l'ouverture je tombe sur un maximum un peu tristounet de 1.17 L

je n'ai pas trop le temps de me plonger sur une modélisation plus réaliste avec des "conoïdes" pour voir ce qu'on y gagne vraiment.
(en plus je ne vois pas trop comment faire ça, pour imposer la développabilité de la surface ...)



j'ai construit (laissé à l'imagination du lecteur) les vues de face et de dessus en vraie grandeur

le volume total est la somme des deux pyramides MEM'A et MFM'B et de la pyramide (tétraèdre) AMM'B
la base MEM' de MEM'A est directement en vraie grandeur sur la vue de dessus, sa hauteur est directement en vraie grandeur MK sur la vue de face
la base MM'B de AMM'B est obtenue en vraie grandeur par rabattement sur la vue de dessus selon l'axe MM'
sa hauteur est AH en vraie grandeur sur la vue de face

et donc le calcul du volume par Geogebra.

Bonjour,

>>>dpi

Je note que dans l'énoncé, il n'est pas précisé l'état de la contenance : solide, liquide, gazeux ou plasma ?

merci pour la réponse

Dans le cas d'état solide, n'oublions pas de considérer l'angle du talus naturel relatif à la nature de la matière de remplissage;

Suite,

En posant, je ne pensais pas que les idées iraient si loin

*premier reflexe faire un cône
*deuxième mes trombones...
*puis le  prismatique
*puis le calot
*puis le demi-cube
*puis...
On va dire que si la feuille est plastifiée et que l'on fasse fondre le
plastique on pourrait mouler une sphère de 1464.66 cm3....
mais il faudra ensuite découper une calotte pour la remplir

dans ce cas le maximum est une demi sphère ... (déja dit il me semble)

c'est semblable au problème en 2D de la cloture contre un mur ou de l'aire de baignade, problèmes récurrents.

on complète par un autre en symétrie. l'ensemble est alors une cloture de longueur double englobant une aire double, dont le maximum est celle d'un cercle (disque), ou un carré si on veut ne mettre que des segments orthogonaux, ou un polygone inscrit si on veut ne mettre que des segments de droite ou un polygone régulier (inscrit aussi donc) si on ne veut mettre que des segments de même longueur.

et ne conservant que la partie donnée de la cloture, on obtient un demi disque, un demi carré etc ...

ceci est basé sur le "théorème connu" la surface fermée de périmètre donné qui a la plus grande aire est un disque
l'exo demande généralement de faire ça en cherchant le maximum d'une certaine fonction.
le raisonnement purement géométrique et "sans calcul" ci dessus justifie de ne pas être surpris par le résultat obtenu "par calcul".


ici c'est exactement le même raisonnement en 3D qui donne une demi-sphère, un demi-cube etc ...
le volume le plus grand délimité entièrement par une surface d'aire donnée est une sphère (comparer avec une bulle de savon)

et à moins de faire fondre la feuille, l'impossibilité de faire une sphère en simplement pliant ou découpant le papier donne les solutions : un polyèdre ou un cone etc qui soit "le plus proche possible" d'une demi-sphère. (et en particulier inscrit dans une demi-sphère)
ce "théorème" est un peu perturbé parce que la seule contrainte de surface ne suffit pas, selon le mode de pliage / découpage il y en plus quelques contraintes physiques supplémentaires.

Bonjour,

comme plusieurs l'ont bien vu : la forme idéale, pour obtenir un maximum de contenance par rapport à la surface du récipient, est une demi-sphère.
Calculons le volume maximum d'un récipient dont la surface englobante est 21x29,7=623,7cm² indépendamment des conditions de réalisation.

La surface de la demi-sphère est de 2**R² = 623,7     (cm²)
on en tire R = 9,963 cm
Le volume possible pour la 1/2 sphère est donc de 2/3**R³    (cm³)
ce qui donne un maximum de 2071,3 cm³

Conclusion

Le bol est donc un excellent récipient