Niveau première

convergence et divergence de sommes

Posté par
maus 23-05-09 à 08:43

Bonjour, j'ai un exercice à faire mais nous n'avons pas sur la convergence et divergence de sommes.
Voici l'enoncé :
Soit ( $U_n$ ) la suite définie, pour tout n $\in$ $\mathbb{N}*$ , par :
$U_n$ = $\frac{n}{n^2 + 1}$ + $\frac{n}{n^2 + 2}$ +... $\frac{n}{n^2 +n}$

$U_n$ = $\sum_{p=1}^n$ $\frac{n}{n^2 + p}$

1.Démontrer que, pour tous entiers naturels non nuls n et p tels que p $\le$ n, alors :
$\frac{n}{n^2 + n}$ $\le$ $\frac{n}{n^2 + n}$ $\le$ $\frac{n}{n^2 + 1}$

2.En déduire que,quel que soit n $\in$ $\mathbb{N}*$
$\frac{n}{n + 1}$ $\le$ $U_n$ $\le$ $\frac{n^2}{n^2 + 1}$

3.Montrer que la suite ( $U_n$ ) converge et déterminer sa limite.

Posté par re : convergence et divergence de sommes 23-05-09 à 10:01

Bonjour
En 1., l'encadrement à démontrer est $\frac{n}{n^2+n}\le \frac{n}{n^2+p}\le \frac{n}{n^2+1}$
en partant de
$1\le p\le n$
$n^2+1\le n^2+p\le n^2+n$
....
L'encadrement du 2. s'obtient en multipliant celui du 1. par $n$

Les gendarmes s'occupent du 3.

Posté par re : convergence et divergence de sommes 23-05-09 à 11:54

Donc pour le 1 :
mais le probléme c'est quand on inverse pour avoir
$\frac{1}{n²+1}$ $\ge$ $\frac{1}{n²+p}$ $\ge$ $\frac{1}{n²+n}$
On doit pas change le signe quand on inverve?

Posté par re : convergence et divergence de sommes 23-05-09 à 11:57

non j'ai compris mon erreur

Posté par re : convergence et divergence de sommes 23-05-09 à 12:00

merçi beaucoup !!!

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