Bonjour,
si H est le projeté orthogonal de B sur OA alors tu peux dire que le triangle BHA est rectangle en H donc que BH²+HA²=AB² et que H appartient à la droite OA ; tu dois donc poser (x,y) les coordonnées de H et écrire les deux relations concernant H en fonction des coordonnées de A, B et H ...

Oui c'est ce que j'ai fait mais alors avec l'equation AB²=BH²+HA² on a une relation avec des distances et non des points en fonction de x et y ...

tu as une relation avec des x et y tes deux inconnues ensuite tu sais que H appartient à la droite OA ce qui te donne une relation entre x et y tu auras donc deux équations à deux inconnues...
commences par me donner le détail de la relation AH²+HB²=AB²
ensuite écris l'équation de la droite OA

Pour AH²+HB²=AB² On a : (Xb-Xa)²+(Yb-Ya)² = ((XH-XA)²+(YH+YA)²)+((XB-XH)²+(YB-YH)²)
Les racines se simplifie avec le carré des vecteurs dans la formule de pythagore.

et la je trouve cette équation trop complexe...

et pour l'équation de la droite OA j'ai y=(1/2)x

Ok pour l'équation de (OA)
tu connais les coordonnées de A ainsi que celles de B, tu peux donc exprimer AH² et BH² en posant les coordonnées de H=(x,y) et tu peux donner également AB²

Oui mais si je remplace simplement dans l'équation j'obtiens :

(-2-4)²+(3-2)²=(Xh-4)²+(Yh-2)²+(-2-Xh)²+(3-Yh)²

alors voilà ce je j'obtiens :


maintenant tu peux continuer en disant que HB²+HA²=AB² tu développes et tu regroupes ensuite tu te sers de la relation   et tu remplaces y par l'expression en fonction de x puis tu résous l'expression ainsi obtenue en fonction de x

Alors je suis d'accord c'est exactement ce que j'ai fait juste ci-dessus.

en remplacent y par (1/2)x j'obtiens au final une équation du 2nd degré : 37=3x²-9x+33

donc 0=3x²-9x-4

je calcul delta et j'obtiens deux solutions x1= -0.39 et x2=3.39

approximativement .

Je choisis donc quel solutions pour Xh ? logiquement c'est -0.39 car la droite OA est croissant et le point H est négatif en Y et X.

Par déduction de Y=(1/2)Xh je trouve Y=-0.195

est-ce juste ?

alors moi j'ai 5/2 x²-9x-4=0 qui est équivalent à 5x²-18x-8=0

j'ai tracé sur le logiciel  geogebra la figure qui après peut me donner les coordonnées des points en en tracer le projeté orthoganal H je trouve comme coordonnéeH(-0.4;-0.2)

oui c'est ce que j'ai trouvé en résolvant l'équation 5x²-18x-8=0