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Courbe reliant deux routes - tangente et dérivées
Bonjour,
Je suis bloqué sur un DM dont le sujet est le suivant :
Dans un repère (O;i,j) et les points A(9;9) B(21;12) et C(25;10). Je dois trouver un un arc de parabole qui relie A et B.
Le problème considère que OA et BC sont deux routes reliées par cette parabole et on me demande de trouver un arc de parabole évitant tout changement de direction brutal en A et en B. Mon prof nous a indiqué à l'oral que la fonction devait être de la forme f(x)=ax²+bx+c.
Pour le moment, j'ai réussi à trouver la fonction correspondant à la parabole :
J'ai trouvé l'équation de la tangente à la courbe en x=9
J'ai également trouvé l'équation de la tangente à la courbe en x=21
Je n'arrive pas à faire le lien entre tous ces éléments pour répondre à la question.
Merci beaucoup pour votre aide.
Bonjour
à quelle question ? nous préférons un énoncé recopié mot à mot plutôt qu'un énoncé raconté...
recopie les 2 premières lignes pour le référencement
ensuite Leile va t'aider
Leile, je vais promener...tu peux prendre la relève pour ceux qui répondent ...
Une entreprise de travaux publics a en charge la construction d'une route avec un franchissement d'un pont en raccordant deux tronçons rectilignes.
La figure 2 représente une modélisation du tracé du virage par l'axe médian de la route (la ligne blanche) où [OA] et [BC] sont des segments de droites et A et B sont reliés par une courbe.
Oile,
OK pour ton énoncé.
f(x) = ax² + bx + c
traduis le fait que les points A et B sont sur la courbe.
vas y !
Ah j'ai fait une erreur en pensant que le point C était aussi sur la courbe!
Donc pour le moment je peux écrire :
f(9) = 81 a + 9b + c
f(21) = 441a + 21b + c
Mais j'ai trois inconnues et seulement deux équations alors je ne sai pas comment faire.
c'est bien... remplace f(9) et f(21) par leurs valeurs.
tu as raison, il nous faut d'autres équations :
pour éviter la rupture brutale de direction, il faut que OA soit tangente à la courbe.
tu peux trouver le coefficient directeur de (OA).
exprime f'(x).
Quelle relation connais tu entre le coefficient directeur de la tangente et la dérivée ?
Je peux écrire
c= 9 - 81a - 9b
c= 12 - 441a - 21b
9 - 81a - b = 12 - 441a - 21b
J'obtiens
-3 - 522a - 30b = 0
tu es mal partie, là... ce n'est pas faux, mais ...
pour éviter la rupture brutale de direction, il faut que OA soit tangente à la courbe.
tu peux trouver le coefficient directeur de (OA).
exprime f'(x).
Quelle relation connais tu entre le coefficient directeur de la tangente et la dérivée ?
oui, c'est ça.
f(x)= ax² + bx + c
f'(x)= ??
Quelle relation connais tu entre le coefficient directeur de la tangente et la dérivée ?
OK pour la relation entre coeff directeur et dérivée
ça se traduit pour (OA) et A ( 9 , 9) par f'(9) = 1
f'(x) = ????
ça va te donner une équation encore..
de même en B, (BC) est tangente à la courbe.
coeff directeur de (BC) ?
donc f'(21) = ????
messages croisés
f'(x)= 2ax + b oui
f'(9)=1 te donne 18a + b = 1 elle est sympa cette équation là, n'est ce pas ?
écris en une autre sympa aussi avec la tangente (BC) en B
ce n'est pas f'(x) qui vaut 1, c'est f'(9) qui vaut 1.
le coeff de la tangente au point d'abcisse m est egal à f'(m).
le coeff de la tangente au point d'abcisse 9 est égal à f'(9).
coeff directeur de (BC ) ?
donc f'(21) = ??
pour le point B, tu n'as pas calculé le coeff directeur de (BC) (il vaut -1/2)
tu aurais dû écrire
42 a + b = -1/2
18a + b = 1
là tu as deux équations, avec deux inconnues : tu peux trouver a et b.
Quand tu les auras, tu pourras les remplacer dans la première équation que tu as écrite
81a + 9b + c = 9
et si tu veux vérifier ta réponse, regarde si 441a + 21b + c te donne bien 12.
Je vais m'absenter : tu sauras terminer ?
a = -1/16 d'accord.
pour b, tu t'es trompé.
18 a + b = 1
- 18/16 + b = 1
b = 1 + 18/16
b= 16/16 + 18/16 = 34/16
à présent tu as a et b, il te reste à trouver c
avec 81a + 9b + c = 9
répondre à la question, c'est trouver les trois coefficients a, b, c
pour donner l'équation de la parabole.
parfait !
donc f(x) = ........
et tu as fini !
je file. Si tu as d'autres questions, n'hésite pas, je reviens voir dans une heure environ.
Non je pense que j'ai compris.
Encore merci !
J'ai un autre problème à faire, je réfléchis et je le posterai demain pour vérifier.
Bonjour,
juste une remarque
Tangente en A à OA et tangente en B à BC donne 4 conditions
donc 4 équations pour seulement 3 inconnues a,b,c
il est indispensable de vérifier que le système de 4 équations est cohérent
et pas :
si tu veux vérifier ta réponse, regarde si 441a + 21b + c te donne bien 12
cette vérification est en fait obligatoire.
si elle échoue cela prouverait, en l'absence d'erreurs de calcul, que l'énoncé est faux (qu'une telle parabole n'existerait pas)
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