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Courbes de niveau pour matheux valeureux !MERCI!
Bonjour,et merci de vos furtures et nombreuses réponses ,
On considère la fonction f de 3 variables réelles définies par f(x;y;z)=.Le but est de déterminer le triplet (x;y;z) minimisant f(x;y;z) et verifiant
.
A.1° a)A partir du système donné, exprimer x et y en fonction de z.
b)Déterminer alors la fonction g définie sur
telle que:
f(x;y;z)=g(z).
2° a)Montrer que la fonction g admet un minimum en et déterminer la valeur de c.
b)En déduire le triplet (a;b;c) solution du problème.
B.Interprétation graphique
Dans un repère orthonormal (O;i;j;k), on considère le plan d'équation x+y+z=4 et le plan
d'équation 2x+y+3z=6.
1° Montrer que et
sont sécants suivant une droite
.
2° Représenter et
dans le repère (O;i;j;k).
Construire la droite .
3° Soit (x;y;z) un point de l'espace.
a)Exprimer en fonction de x, y et z.
b)Interpréter géometriquement la condition: le triplet minimise et verifie
.
c)en déduire que le point S(a;b;c) où (a;b;c) est le triplet solution de la partie A, tel que (OS) est perpendiculaire à la droite .
Verifier ce résultat.
d)Placer S dans le repère (O;i;j;k).
A. 1.
a)en faisant L1-L2 on obtient:
-x-2z = -2
x=2-2z
en remplaçant dans L1:
2-2z+y+z=4
y=2+z
b)f(x,y,z)=x²+y²+z².
g(z)=(2-2z)²+(2+z)²+z²
g(z)= 6z²-4z+8
A.2.
a)g est une fonction polynômiale de degré 2 (une parabole tournée vers le haut), elle atteint donc son minimum pour z=-b/2a = 4/12 = 1/3.
(sinon tu peux tjs dériver, montrer qu'elle décroit puis qu'elle croit et trouver en quelle valeur g'(z)=0).
b) f est minimisée par c=1/3
a=2-2*1/3=4/3
b=2+1/3=7/3
Partie B
1. Deux plans sont soit parallèles soient sécants en une droite.
Leurs vecteurs normaux sont n1(1,1,1) et n2(2,1,3). n1 et n2 n'étant pas colinéaires les deux plans P1 et P2 ne sont pas parallèles, ils sont donc sécants en une droite D.
3. a) OM²=x²+y²+z².
b)Interprètons chacune des conditions.
Soit N(x,y,z) vérifiant ces conditions.
x+y+z=4 donc N appartient au plan P1
2x+y+3z = 6 donc N appartient au plan P2
Donc N appartient à l'intersection de P1 et P2, cad la droite D.
x²+y²+z² minimal, cad ON² minimal.
Ainsi, N est sur la droite D, le plus près possible de O (distance minimale).
Bonjour,
Prenant la suite de Dolphie,
B 3° b)
Minimiser x2+y2+z2 revient à minimiser la distance OM, M étant à l'intersection des deux plans, donc sur la droite D.
Celà revient à chercher le point M qui est à l'intersection de cette droite et d'un cercle de centre O; autrement dit, la droite D est tangente à ce cercle en M.
Si tangence, alors le rayon OM est perpendiculaire à D
...
Philoux
merci philoux...tu 
as terminé à ma place.
MERCI ET A BIENTOT SUR LILE AUX MATHS
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